Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(h) , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por no espaço das polinômios de grau até 2, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vou escolher a base padrão para , que é . Assim, podemos representar a transformação como uma matriz. Olhando para , percebemos que:
O coeficiente de passa a ser .
O coeficiente de passa a ser .
O coeficiente de continua sendo .
Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante:
Resolvendo , encontramos os autovalores:
Passo 4
Vamos agora encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta nas equações:
O coeficiente é livre. Assim, os autovetores são da forma , ou seja:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso leva às equações:
Portanto, os autovetores são da forma , ou seja:
Resposta
Os autovalores de são com multiplicidade 2 e .
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde , formando um autoespaço generalizado de dimensão 2.
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde , formando um autoespaço generalizado de dimensão 1.