Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(h) , para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por no espaço das polinômios de grau até 2, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vou escolher a base padrão para , que é . Assim, podemos representar a transformação como uma matriz. Olhando para , percebemos que:
O coeficiente de passa a ser .
O coeficiente de passa a ser .
O coeficiente de continua sendo .
Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é T - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda , onde det(T - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = (lambda^2 - 1)(1 - lambda) = 0 é a matriz identidade e lambda = 1 (mu são os autovalores.
Subtraindo da matriz de :
Calculando o determinante:
Resolvendo , encontramos os autovalores:
Passo 4
Vamos agora encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 a b c = 0 0 0 :
Resolvemos - a + b = 0 Rightarrow a = b a - b = 0 Rightarrow a = b :
[ , a(1 + x) + c x^2 mid a, c in F , 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 a b c = 0 0 0
a + b = 0 Rightarrow a = -b a + b = 0 Rightarrow a = -b 2c = 0 Rightarrow c = 0
]
Isso resulta nas equações:
, a(1 - x) mid a in F ,
O coeficiente é livre. Assim, os autovetores são da forma , ou seja:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso leva às equações:
Portanto, os autovetores são da forma , ou seja:
Resposta
Os autovalores de são com multiplicidade 2 e .
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde , formando um autoespaço generalizado de dimensão 2.
Para , os autovetores são os polinômios da forma , onde , formando um autoespaço generalizado de dimensão 1.