Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por:
Aqui, representa os autovalores que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o determinante:
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os autovalores são e .

Exercícios relacionados

10
Sejam . Mostre que é semelhante a se, e somente se, existir um tal que .
O conjunto de todos os polinômios de grau com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre .
O conjunto das matrizes com entradas reais é um espaço vetorial sobre .
15
Sejam , com , e , para alguma base de . Mostre que:
(a) Se é ímpar e , então possui pelo menos um autovalor positivo.