Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz
. O polinômio característico é dado por:
Aqui,
representa os autovalores que queremos encontrar, e
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 4
Vamos expandir e simplificar o determinante:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Resposta
O polinômio característico da matriz
é
e os autovalores são
e
.
Exercícios relacionados
10
Sejam . Mostre que
é semelhante a
se, e somente se, existir um
tal que
.
Sejam
O conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre
.
O conjunto
das matrizes
com entradas reais é um espaço vetorial sobre
.
15
Sejam , com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(a) Se é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor positivo.
Sejam
(a) Se