Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear A=[ll4 & 5 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio característico e os autovalores da matriz de transformação linear 4 & 5 2 & 1. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico é dado por:
Aqui, representa os autovalores que queremos encontrar, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 4 - lambda & 5 2 & 1 - lambda :
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (5 times 2)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (4 - lambda)(1 - lambda) - 10

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o determinante:
= 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 10
= 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 - 10
= lambda^2 - 5lambda - 6
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 5lambda - 6

Passo 5

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
p(lambda) = 0 Rightarrow lambda^2 - 5lambda - 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm raiz492
lambda = 5 pm 72
Então, temos duas soluções:
lambda1 = 5 + 72 = 6
lambda2 = 5 - 72 = -1

Resposta

O polinômio característico da matriz é e os autovalores são e .

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