10.) sumj=2^infty (-1)^-j 2^2 j6^j+3

Passo 1

Entendendo o problema
A gente tem que resolver a soma infinita:
sumj=2^infty (-1)^-j cdot 2^2j6^j+3
O que vamos usar:
  • Séries Geométricas: São somas com termos que têm uma razão constante entre si.
  • Manipulação de potenciações e índices: Para simplificar a expressão.

Passo 2

Simplificando os sinais
Primeiro, vamos simplificar (-1)^-j = 1(-1)^j = (-1)^j . Lembra que:
sumj=2^infty (-1)^j cdot 2^2j6^j+3
Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Simplificando as potências
Vamos simplificar 2^2j = (2^2)^j = 4^j e 6^j+3 = 6^j cdot 6^3 = 6^j cdot 216 :
sumj=2^infty (-1)^j cdot 4^j216 cdot 6^j
Agora, substituindo na soma:

Passo 4

Simplificando a fração
Dividindo 4^j6^j = (46)^j = (23)^j por sumj=2^infty (-1)^j cdot (23)^j216 :
Então, a soma fica:

Passo 5

Fatorando constantes
Podemos tirar o 1216 sumj=2^infty (-23)^j de fora da soma:

Passo 6

Calculando a série geométrica
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é:
sumj=0^infty r^j = 11 - r, para |r| < 1
No nosso caso, sumj=0^infty (-23)^j = 11 - (-23) = 11 + 23 = 35 , então a soma completa seria:
sumj=2^infty (-23)^j = 35 - 1 - (-23) = 35 - 1 + 23 = 415
Mas nossa soma começa em . Para ajustar isso, subtraímos os dois primeiros termos (quando e ):

Passo 7

Finalizando a resposta
Multiplicando pela constante que tiramos antes:
1216 cdot 415 = 43240 = 1810

Resposta

A soma infinita é igual a .

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