Considere a região D limitada pelas retas . Calcule o valor da integral Dupla .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região que é limitada pelas retas , e . Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e integrar a função sobre a região .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é delimitada pelas retas , (que é o eixo x) e . Se desenharmos essas retas no plano cartesiano, vemos que é uma diagonal que passa pela origem, é o eixo x, e é uma reta vertical. Assim, a região é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,4).
Passo 3
Agora, para calcular a integral dupla , precisamos definir os limites de integração para e . Podemos integrar primeiro em e depois em . Para cada entre 0 e 4, vai de 0 até . Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos começar a integrar com respeito a . A função a ser integrada é , que, neste caso, é tratada como uma constante em relação a . Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa e integramos com respeito a integral0^4 x^2 , dx :