Considere a região D limitada pelas retas y=x, y=0, x=4. Calcule o valor da integral Dupla integral duplaD x d A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a região que é limitada pelas retas , e . Esse tipo de problema faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e integrar a função sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é delimitada pelas retas , (que é o eixo x) e . Se desenharmos essas retas no plano cartesiano, vemos que é uma diagonal que passa pela origem, é o eixo x, e é uma reta vertical. Assim, a região é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,4).

Passo 3

Agora, para calcular a integral dupla integralx=0^4 integraly=0^x x , dy , dx , precisamos definir os limites de integração para e . Podemos integrar primeiro em e depois em . Para cada entre 0 e 4, vai de 0 até . Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos começar a integrar com respeito a integral0^x x , dy = x cdot y |0^x = x cdot x - x cdot 0 = x^2 . A função a ser integrada é , que, neste caso, é tratada como uma constante em relação a . Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa e integramos com respeito a integral0^4 x^2 , dx :
x^33 |0^4 = 4^33 - 0^33 = 643 - 0 = 643
A integral de é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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