9.) sumn=2^infty(-4)^n-2 5^4-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita . O conteúdo aqui envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Vamos precisar manipular as potências e identificar a razão dessa série para calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da expressão. Observe que (-4)^n-2 cdot 5^4-n = (-4)^n16 cdot 6255^n pode ser reescrito como e pode ser reescrito como . Assim:

Passo 3

Agora, vamos juntar as frações:
(-4)^n cdot 62516 cdot 5^n
Podemos simplificar isso dividindo os coeficientes:
62516 cdot (-45)^n

Passo 4

Perceba que a série começa em sumn=2^infty 62516 cdot (-45)^n = 62516 cdot sumk=0^infty (-45)^k+2 , então vamos ajustar o índice para começar em . Para isso, substituímos por , onde :

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da soma:
62516 cdot (-45)^2 cdot sumk=0^infty (-45)^k
Calculando 62516 cdot 1625 cdot sumk=0^infty (-45)^k :
62525 cdot sumk=0^infty (-45)^k
Os 16 se cancelam:
25 cdot sumk=0^infty (-45)^k

Passo 6

Agora, reconhecemos que sumk=0^infty r^k = 11 - r, onde |r| < 1 é uma série geométrica com razão sumk=0^infty (-45)^k = 11 - (-45) = 11 + 45 = 195 = 59 . Sabemos que a soma dessa série é dada por:
Aqui, , então podemos aplicar a fórmula:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
25 cdot 59 = 1259

Resposta

A soma infinita é .

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