9.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a soma infinita
. O conteúdo aqui envolve séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre eles. Vamos precisar manipular as potências e identificar a razão dessa série para calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da expressão. Observe que
pode ser reescrito como
e
pode ser reescrito como
. Assim:
Passo 3
Agora, vamos juntar as frações:
Podemos simplificar isso dividindo os coeficientes:
Passo 4
Perceba que a série começa em
, então vamos ajustar o índice para começar em
. Para isso, substituímos
por
, onde
:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da soma:
Calculando
:
Os 16 se cancelam:
Passo 6
Agora, reconhecemos que
é uma série geométrica com razão
. Sabemos que a soma dessa série é dada por:
Aqui,
, então podemos aplicar a fórmula:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A soma infinita é
.