Determine as derivadas parciais primeiras de
, por definição:
Passo 1
Vamos resolver as derivadas parciais primeiras da função
. Isso significa que vamos encontrar como a função muda quando a variável
varia mantendo
constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a calcular essas taxas de variação de forma precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é representada por
. A definição de derivada parcial em relação a
é:
Isso significa que vamos ver como a função muda quando aumentamos
por uma pequena quantidade
, mantendo
constante.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, subtraímos
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir os termos:
Então:
Passo 5
Agora, dividimos tudo por
conforme a definição da derivada parcial:
Passo 6
Tomando o limite quando
tende a zero, os termos que contêm
desaparecem:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
. A definição é:
Aqui, analisamos como a função muda quando aumentamos
por uma pequena quantidade
, mantendo
constante.
Passo 8
Vamos calcular
:
Subtraindo
:
Passo 9
Expandindo os termos:
Então:
Passo 10
Dividindo por
:
Passo 11
Tomando o limite quando
tende a zero, os termos que contêm
desaparecem:
Resposta
As derivadas parciais primeiras são: