Determine as derivadas parciais primeiras de f(x, y), por definição: f(x, y) = x^3 + x^2 * y^3 - 2 * y^2

Passo 1

Vamos resolver as derivadas parciais primeiras da função . Isso significa que vamos encontrar como a função muda quando a variável varia mantendo constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial, que nos ajuda a calcular essas taxas de variação de forma precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é representada por . A definição de derivada parcial em relação a é:
Isso significa que vamos ver como a função muda quando aumentamos por uma pequena quantidade , mantendo constante.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, subtraímos :
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir os termos:
Então:

Passo 5

Agora, dividimos tudo por conforme a definição da derivada parcial:

Passo 6

Tomando o limite quando tende a zero, os termos que contêm desaparecem:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por . A definição é:
Aqui, analisamos como a função muda quando aumentamos por uma pequena quantidade , mantendo constante.

Passo 8

Vamos calcular :
Subtraindo :

Passo 9

Expandindo os termos:
Então:

Passo 10

Dividindo por :

Passo 11

Tomando o limite quando tende a zero, os termos que contêm desaparecem:

Resposta

As derivadas parciais primeiras são:

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