10 - (Ufjf-MG) Durante uma partida de futebol, um jogador, percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol, resolve tentar um chute de longa distância (vide figura). O jogador se encontra a 40 m do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem módulo
e faz um ângulo de
com a horizontal, como mostra a figura a seguir. Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual e usando
, sen
e
:
b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura de
.
Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele? Justifique.
b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura de
Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele? Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo nessa questão. Temos um jogador de futebol que chuta a bola com uma velocidade inicial de
formando um ângulo de
com a horizontal. A distância entre o jogador e o goleiro é de 40 metros. O goleiro pode estender os braços e alcançar uma altura de 3,0 metros. Nosso objetivo é descobrir se a bola passará por uma altura que o goleiro consegue atingir quando ela chegar até ele. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetado na física, considerando as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial da bola nas suas componentes horizontal e vertical. Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso.
A componente horizontal da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
A componente vertical da velocidade (
) é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para percorrer os 40 metros até o goleiro. Como não há aceleração na direção horizontal (desprezando a resistência do ar), o tempo (
) pode ser calculado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com o tempo que a bola leva para chegar ao goleiro, podemos determinar a altura que a bola alcança nesse instante. A altura (
) em função do tempo no movimento vertical é dada por:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, sabemos que a bola estará a aproximadamente 4,19 metros de altura quando chegar ao goleiro. O goleiro consegue tocar a bola até uma altura de 3,0 metros. Como 4,19 m > 3,0 m, a bola passará acima da altura máxima que o goleiro pode alcançar.
Resposta
Não, o goleiro não consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele, já que a bola estará a aproximadamente 4,19 metros de altura, o que é maior que os 3,0 metros que o goleiro pode alcançar.