Uma partícula se desloca em linha reta, com sua distância à origem é dada, em função do tempo, por:
d) repita os cálculos anteriores considerando as seguintes equações: (i): (ii):

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nisso! Temos uma partícula que se movimenta em linha reta, e a distância dela até a origem está descrita por uma função em relação ao tempo. O enunciado original era . A parte (d) pede para repetir os cálculos anteriores usando duas novas equações para :
(i)
(ii)
Vamos precisar entender como encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição em função do tempo. Isso envolve derivadas básicas de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são velocidade e aceleração. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada de em relação a :
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, que é a segunda derivada de ou a primeira derivada de :

Passo 3

Vamos começar com a equação (i): .
Primeiro, encontramos a velocidade derivando em relação a :
Sabemos que a derivada de é 1 e a derivada de é . Então:
Agora, vamos encontrar a aceleração derivando em relação a :
A derivada de uma constante é zero, e a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos para a equação (ii): .
Primeiro, encontramos a velocidade derivando em relação a :
Derivando termo a termo:
Agora, encontramos a aceleração derivando em relação a :
Derivando cada termo:

Resposta

Para a equação (i) :
  • Velocidade:
  • Aceleração:
Para a equação (ii) :
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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