Uma partícula se desloca em linha reta, com sua distância à origem é dada, em função do tempo, por: x(t)=4 t+6 t^2
d) repita os cálculos anteriores considerando as seguintes equações: (i): x(t)=2 t+3 t^2 e (ii): x(t)=t^2+t-2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nisso! Temos uma partícula que se movimenta em linha reta, e a distância dela até a origem está descrita por uma função em relação ao tempo. O enunciado original era . A parte (d) pede para repetir os cálculos anteriores usando duas novas equações para :
(i)
(ii)
Vamos precisar entender como encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição em função do tempo. Isso envolve derivadas básicas de funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são velocidade e aceleração. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada de v(t) = dx(t)dt em relação a a(t) = dv(t)dt = d^2x(t)dt^2 :
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, que é a segunda derivada de ou a primeira derivada de :

Passo 3

Vamos começar com a equação (i): v(t) = ddt(2t) + ddt(3t^2e) .
Primeiro, encontramos a velocidade derivando v(t) = 2 + 6te em relação a a(t) = ddt(2) + ddt(6te) :
a(t) = 0 + 6e = 6e
Sabemos que a derivada de é 1 e a derivada de é . Então:
Agora, vamos encontrar a aceleração derivando em relação a :
A derivada de uma constante é zero, e a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos para a equação (ii): v(t) = ddt(t^2) + ddt(t) - ddt(2) .
Primeiro, encontramos a velocidade derivando v(t) = 2t + 1 - 0 = 2t + 1 em relação a a(t) = ddt(2t) + ddt(1) :
a(t) = 2 + 0 = 2
Derivando termo a termo:
Agora, encontramos a aceleração derivando em relação a :
Derivando cada termo:

Resposta

Para a equação (i) :
  • Velocidade:
  • Aceleração:
Para a equação (ii) :
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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