& (10) y=e^x1+x & y^prime=(e^x)^prime cdot(1+x)-e^x cdot(1+x)^prime(1+x)^2 Rightarrow y^prime=e^x(1+x)-e^x(1)(1+x^2) Rightarrow y^prime=e^x+x cdot e^x-e^x(1+x)^2 Rightarrow & Rightarrow y^prime=x cdot e^x(1+x)^2 (1,0)
& (6) y=sen x cdot cos x & y^prime=(sen x)^prime cdot cos x+sen x(cos x)^prime Rightarrow y^prime=cos x cdot cos x+sen x(-sen x) Rightarrow y^prime Rightarrow yos^2 x-sen^2 x (1,0) ov, sen^2 x=cos ^2 x-1 Rightarrow 1 & Rightarrow y^prime=cos ^2 x
& (c) y=tan (sen x) & y^prime=sec ^2(sen x) cdot(sen x)^prime Rightarrow y^prime=cos x cdot sec ^2(sen x) (1,0)
(d) y=ln (sen^2 x)
Hiando a propriedade do log aritan theta: y=2 ln (sen x). Devivando:
y^prime=2 cdot 1sen x cdot(sen x)^prime=2sen x cdot cos x Rightarrow y^prime=2 cotg x (1,0)
& (e) y=x^21+e^x & y^prime=(x^2)^prime cdot(1+e^x)-x^2(1+e^x)^prime(1+e^x)^2 Rightarrow y^prime=2 x(1+e^x)-x^2 cdot e^x(1+e^x)^2 Rightarrow & Rightarrow y^prime=2 x+2 x e^x-x^2 cdot e^x(1+e^x)^2 Rightarrow y^prime=x cdot e^x(2-x)+2 x(1+e^x)^2 Rightarrow
(10) Cantinurcas
(f) y=ln |cos (ln x)|
luso da Regra da cadeia:
& y^prime=1cos (ln x) cdot(cos (ln x))^prime cdot 1x Rightarrow y^prime=1x cdot cos (ln x) cdot-sen(ln x) Rightarrow & Rightarrow y^prime=-tan (ln x)x(1,0) OBS: tan (ln x)=sen(ln x)cos (ln x)
x
x x
& (20) (a) 2 x^3+x^2 cdot y-x cdot y^3=2 & (2 x^3+x^2 cdot y-x cdot y^3)^prime=(2)^prime Rightarrow 6 x^2+2 x y+x^2 cdot y^prime-y^3-x cdot 3 y^2 cdot y^prime=0 & Rightarrow(x^2-3 x y^2) cdot y^prime=-6 x^2-2 x y+y^3 Rightarrow y^prime=y^3-6 x^2-2 x yx^2-3 x y^2 Rightarrow (1
(b) e^y cdot cos x=1+sen(x cdot y)
& (e^y cdot cos x)^prime=(1+sen(x, y))^prime Rightarrow e^y cdot cos y cdot y^prime+e^y cdot(-sen x)=cos (x cdot y) cdot(x cdot y)^prime Rightarrow & e^y cdot cos y cdot y^prime-e^y cdot sen x=cos (x, y) cdot(y+x cdot y^prime) Rightarrow & Rightarrow e^y cdot cos y cdot y^prime-e^y cdot sen x=y cdot cos (x, y)+x cdot cos (x, y) cdot y^prime Rightarrow & Rightarrow y^prime(e^y cdot cos y-x cdot cos (x, y))=y cdot cos (x, y)+e^y cdot sen x Rightarrow & Rightarrow y^prime=y cdot cos (x, y)+e^y cdot sen xe^y cdot cos y-x cdot cos (x, y)(1,5)
(30) Se y=sec ^-1 x, prove que y^prime prime=1x raizx^2-1
tomands a secante em ambos os lados de y=sec ^-1 x, temos
sec y=sec (sec ^-1 x) Rightarrow sec y=x
Derivando implicitamente esta óltime equaceos:
tan y cdot sec y cdot y^prime=1 Rightarrow y^prime=1sec y cdot tan y=1x cdot tan y (*)
Porén, sen^2 y+cos ^2 y=1 (00 cos ^2 y) Rightarrow tan ^2 y+1=sec ^2 y Rightarrow tan ^2 y=sec ^2 y-1 Rightarrow
Rightarrow tan y=raizx^2-1. Substituindo em(*), chegamos a
y^prime=1x raizx^2-1 (1,0)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Queremos provar que, para a função , a segunda derivada é . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação implícita e conhecer as derivadas de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, consideremos a relação que define a função:
y = sec^-1 x Rightarrow sec y = x
Isso significa que é o ângulo cuja secante é .

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação ddx (sec y) = ddx x em relação a sec y tan y cdot dydx = 1 . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia.
Sabemos que a derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, isolamos dydx = 1sec y tan y :
tan y = raizsec^2 y - 1 = raizx^2 - 1
Sabemos que dydx = 1x raizx^2 - 1 . Além disso, podemos usar a identidade trigonométrica , o que nos dá:
Substituindo esses valores na expressão para :

Resposta

A segunda derivada é .

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