Usando as regras de derivação apropriadas, determine as derivadas das funções abaixo: y = x^2 / (1 + e^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com regras de derivação. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente, que é útil quando a função é uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vão entrar na Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função , a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Com essas derivadas em mãos, vamos aplicar a Regra do Quociente na nossa função:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Substituindo de volta:

Passo 6

Podemos fatorar no numerador para simplificar mais:

Resposta

A derivada da função é:

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