[8,0 pts.] Uma placa de gelo em um lago tem um formato (que pode ser descrito aproximadamente como) circular e está derretendo, com uma área que diminui à taxa de
. Nesse caso, qual é a taxa segundo a qual o raio dessa placa estaria descrescendo, no instante em que a sua área valer
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de gelo circular que está derretendo, ou seja, sua área está diminuindo. A taxa de diminuição da área é de
. Queremos descobrir a que velocidade o raio dessa placa está diminuindo no momento em que a área é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a área de um círculo é calculada pela fórmula:
onde
é a área e
é o raio. Como a área está mudando com o tempo, podemos relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do raio usando derivadas.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação da área em relação ao tempo
:
Aqui,
representa a taxa de variação da área e
representa a taxa de variação do raio.
Passo 4
Queremos encontrar
quando
. Primeiro, precisamos encontrar o valor do raio
nesse instante. Usando a fórmula da área:
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação derivada:
Observamos que a taxa de variação da área é negativa porque a área está diminuindo.
Passo 6
Vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 7
Calculamos numericamente:
Resposta
A taxa de diminuição do raio da placa de gelo é aproximadamente
.