[8,0 pts.] Uma placa de gelo em um lago tem um formato (que pode ser descrito aproximadamente como) circular e está derretendo, com uma área que diminui à taxa de 0.5 m^2 / seg. Nesse caso, qual é a taxa segundo a qual o raio dessa placa estaria descrescendo, no instante em que a sua área valer 12 m^2 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa de gelo circular que está derretendo, ou seja, sua área está diminuindo. A taxa de diminuição da área é de . Queremos descobrir a que velocidade o raio dessa placa está diminuindo no momento em que a área é 12 m^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a área de um círculo é calculada pela fórmula:
onde A é a área e r é o raio. Como a área está mudando com o tempo, podemos relacionar a taxa de variação da área com a taxa de variação do raio usando derivadas.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação da área em relação ao tempo t:
Aqui, representa a taxa de variação da área e representa a taxa de variação do raio.

Passo 4

Queremos encontrar quando . Primeiro, precisamos encontrar o valor do raio r nesse instante. Usando a fórmula da área:
Isolando r:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação derivada:
Observamos que a taxa de variação da área é negativa porque a área está diminuindo.

Passo 6

Vamos isolar :
Simplificando:

Passo 7

Calculamos numericamente:

Resposta

A taxa de diminuição do raio da placa de gelo é aproximadamente .

Exercícios relacionados