O tubo de órgão , com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de 300 Hz . O terceiro harmônico do tubo de órgão , com uma extremidade aberta, tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo . Qual é o comprimento (a) do tubo ? (b) Qual o comprimento do tubo ?
Dado:
Profa. Melissa F. Siqueira Savedra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tubos de órgão com diferentes características e frequências. A gente precisa entender como as frequências fundamentais e harmônicas funcionam em tubos abertos e fechados. Vamos precisar das fórmulas das frequências dos harmônicos para tubos com extremidades abertas e fechadas, além da velocidade do som no ar, que já foi dada como . Nosso objetivo é encontrar o comprimento dos tubos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um tubo com as duas extremidades abertas, como o tubo , a frequência fundamental é dada por:
onde é a velocidade do som e é o comprimento do tubo .

Passo 3

Também sabemos que o terceiro harmônico do tubo , que tem uma extremidade aberta, corresponde à frequência do segundo harmônico do tubo . Para um tubo com uma extremidade aberta, os harmônicos são ímpares, então o terceiro harmônico é:
onde é o comprimento do tubo .

Passo 4

Agora, vamos relacionar as frequências. A frequência fundamental do tubo é 300 Hz, então:
O segundo harmônico do tubo é:
Segundo o enunciado, essa frequência é igual ao terceiro harmônico do tubo :

Passo 5

Vamos usar a fórmula do terceiro harmônico do tubo :
Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o comprimento do tubo usando a frequência fundamental:
Resolvendo para :

Resposta

(a) O comprimento do tubo é aproximadamente 0,429 metros.
(b) O comprimento do tubo é aproximadamente 0,572 metros.

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