O tubo de órgão A, com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de 300 Hz . O terceiro harmônico do tubo de órgão B, com uma extremidade aberta, tem a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo A. Qual é o comprimento (a) do tubo B ? (b) Qual o comprimento do tubo A ?
Dado: v som (ar)=343 m / s
Profa. Melissa F. Siqueira Savedra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tubos de órgão com diferentes características e frequências. A gente precisa entender como as frequências fundamentais e harmônicas funcionam em tubos abertos e fechados. Vamos precisar das fórmulas das frequências dos harmônicos para tubos com extremidades abertas e fechadas, além da velocidade do som no ar, que já foi dada como . Nosso objetivo é encontrar o comprimento dos tubos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um tubo com as duas extremidades abertas, como o tubo f1 = v2LA , a frequência fundamental é dada por:
onde é a velocidade do som e é o comprimento do tubo .

Passo 3

Também sabemos que o terceiro harmônico do tubo f3 = 3 times v4LB , que tem uma extremidade aberta, corresponde à frequência do segundo harmônico do tubo . Para um tubo com uma extremidade aberta, os harmônicos são ímpares, então o terceiro harmônico é:
onde é o comprimento do tubo .

Passo 4

Agora, vamos relacionar as frequências. A frequência fundamental do tubo f1 = 300 , Hz é 300 Hz, então:
f2 = 2f1 = 600 , Hz
O segundo harmônico do tubo f3 = 600 , Hz é:
Segundo o enunciado, essa frequência é igual ao terceiro harmônico do tubo :

Passo 5

Vamos usar a fórmula do terceiro harmônico do tubo 600 = 3 times 3434LB :
600 = 10294LB
Agora, vamos resolver para 600 times 4LB = 1029 :
2400LB = 1029
Multiplicando ambos os lados por LB = 10292400 approx 0,42875 , m :

Passo 6

Agora, vamos encontrar o comprimento do tubo 300 = 3432LA usando a frequência fundamental:
2LA = 343300
Resolvendo para LA = 343600 approx 0,5717 , m :

Resposta

(a) O comprimento do tubo é aproximadamente 0,429 metros.
(b) O comprimento do tubo é aproximadamente 0,572 metros.

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