5-104
O ar escoa através de um tubo a uma vazão de . O tubo consiste em duas seções de 22 cm e de 10 cm de diâmetro com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de água. Desprezando o atrito, determine a altura diferencial de água, , dada pela diferença de pressão entre as duas seções da tubulação. (Densidade do ar ).

Passo 1

Então, a gente tem um tubo por onde o ar está passando com uma vazão de 120 litros por segundo. Esse tubo tem duas partes com diâmetros de 22 cm e 10 cm, conectadas de maneira suave. A diferença de pressão entre essas duas seções é medida por um manômetro de água. Queremos descobrir qual é a diferença de altura, , do manômetro que representa essa diferença de pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a continuidade da vazão e a equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de litros por segundo para metros cúbicos por segundo, porque as unidades padrão no SI são mais fáceis de trabalhar. Sabemos que:

Passo 3

Vamos calcular as áreas das duas seções do tubo. A área de um círculo é dada por:
Para a primeira seção ( ):
E para a segunda seção ( ):

Passo 4

A velocidade do ar em cada seção pode ser encontrada usando a equação da continuidade, que diz que a vazão é igual à área vezes a velocidade:
Então, a velocidade na primeira seção ( ) é:
E na segunda seção ( ):

Passo 5

Vamos usar a equação de Bernoulli para relacionar as pressões nas duas seções. A equação de Bernoulli simplificada, sem considerar atrito, é:
Queremos a diferença de pressão :

Passo 6

Agora, sabemos que essa diferença de pressão é medida pelo manômetro de água, onde:
á
Igualando as duas expressões para :
á
Queremos isolar :
á

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Sabemos que , á, e . Calculando :
Então:

Resposta

A altura diferencial de água é aproximadamente 1,37 cm.

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5.64
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