, então
implicando que
, e portanto
. Logo, temos que
, ou seja,
Levando em consideração a teoria de séries numéricas estudada, esse valor pode ser atribuído a essa série? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série infinita
. A pergunta é: considerando o que estudamos sobre séries numéricas, esse valor
pode realmente ser atribuído a essa série? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre convergência de séries e métodos de soma.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre séries convergentes. Uma série infinita
converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que adicionamos mais termos. Se isso acontece, chamamos esse número de soma da série.
No caso de
, parece que a série não se estabiliza em um único valor. Ela oscila entre 1 e 0 à medida que adicionamos mais termos. Portanto, no sentido tradicional, essa série não converge.
Passo 3
Apesar de a série não convergir no sentido comum, existem métodos alternativos de soma que permitem atribuir valores a séries que não convergem normalmente. Um desses métodos é a soma de Cesàro.
A soma de Cesàro calcula a média das somas parciais da série. Vamos ver isso na prática:
- A soma parcial após 1 termo:
- Após 2 termos:
- Após 3 termos:
- Após 4 termos:
- E assim por diante.
As somas parciais alternam entre 1 e 0. A média dessas somas parciais, ao longo de muitas etapas, é
. Assim, pela soma de Cesàro, atribuímos
à série.
Passo 4
Então, voltando à pergunta original: Podemos atribuir o valor
à série
usando a teoria de séries numéricas?
A resposta é sim, mas com uma ressalva. Embora a série não seja convergente no sentido tradicional, usando métodos como a soma de Cesàro, conseguimos atribuir um valor a ela. Esse valor
é válido dentro do contexto desse método específico de soma.
Resposta
Sim, podemos atribuir o valor
à série
utilizando métodos alternativos de soma, como a soma de Cesàro, mesmo que a série não seja convergente no sentido tradicional.
Exercícios relacionados
b)
а)
a)
b)