Verifique se a sequência
converge ou diverge, onde:
b)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma sequência definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número específico quando
fica muito grande) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências que envolvem exponenciais e a constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma regra importante sobre limites que envolve a constante
. Sabemos que:
Aqui,
e
são constantes, e
é o índice que cresce até o infinito. Esse limite nos diz que, quando temos uma expressão do tipo
, ela tende a
elevado ao produto de
e
.
Passo 3
Agora, vamos comparar a sequência dada com essa regra. Na nossa sequência:
Podemos identificar que
e
. Substituindo na regra que vimos:
Isso significa que, conforme
cresce, a sequência
se aproxima cada vez mais de
.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
а)
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.
implicando que
, e portanto
. Logo, temos que
, ou seja,
Levando em consideração a teoria de séries numéricas estudada, esse valor pode ser atribuído a essa série? Justifique sua resposta.
a)