1,0 Verifique se a sequência (x_j)_{j em N} converge ou diverge, onde:
b) x_j = (1 + 5/j)^(2*j)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma sequência definida por . O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum número específico quando fica muito grande) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites de sequências que envolvem exponenciais e a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma regra importante sobre limites que envolve a constante . Sabemos que:
Aqui, e são constantes, e é o índice que cresce até o infinito. Esse limite nos diz que, quando temos uma expressão do tipo , ela tende a elevado ao produto de e .

Passo 3

Agora, vamos comparar a sequência dada com essa regra. Na nossa sequência:
Podemos identificar que e . Substituindo na regra que vimos:
Isso significa que, conforme cresce, a sequência se aproxima cada vez mais de .

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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