Verifique se a sequência
converge ou diverge, onde:
а)
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a sequência
converge ou diverge, sendo que cada termo dessa sequência é dado por:
Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e queremos saber se existe um valor que
se aproxima conforme
cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com cada parte da expressão quando
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da expressão:
. Esse é um número constante, ou seja, não muda conforme
aumenta. Então, esse termo sempre será 0,5.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte:
. Aqui temos duas coisas acontecendo:
-
: Isso faz com que o sinal do termo alterne entre positivo e negativo conforme aumenta. Se for par, o resultado é positivo; se for ímpar, é negativo. -
: Conforme cresce, esse valor diminui, já que o denominador está ficando maior.
Passo 4
Vamos pensar no que acontece com
quando
vai para o infinito. Apesar de o sinal alternar, o valor absoluto
está se aproximando de zero porque
está aumentando sem parar. Então, essa parte da expressão está se anulando no limite.
Passo 5
Juntando as duas partes:
Sabemos que
, então:
Resposta
A sequência
converge para
.
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Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções não têm limite quando
.
Teste a convergência ou divergência das séries
b)
implicando que
, e portanto
. Logo, temos que
, ou seja,
Levando em consideração a teoria de séries numéricas estudada, esse valor pode ser atribuído a essa série? Justifique sua resposta.