1,0 Verifique se a sequência (x_j)_{j em N} converge ou diverge, onde:
а) x_j = 1/2 + (-1)^j / (2 * j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a sequência converge ou diverge, sendo que cada termo dessa sequência é dado por:
Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e queremos saber se existe um valor que se aproxima conforme cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que acontece com cada parte da expressão quando aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da expressão: . Esse é um número constante, ou seja, não muda conforme aumenta. Então, esse termo sempre será 0,5.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte: . Aqui temos duas coisas acontecendo:
  1. : Isso faz com que o sinal do termo alterne entre positivo e negativo conforme aumenta. Se for par, o resultado é positivo; se for ímpar, é negativo.
  2. : Conforme cresce, esse valor diminui, já que o denominador está ficando maior.

Passo 4

Vamos pensar no que acontece com quando vai para o infinito. Apesar de o sinal alternar, o valor absoluto está se aproximando de zero porque está aumentando sem parar. Então, essa parte da expressão está se anulando no limite.

Passo 5

Juntando as duas partes:
Sabemos que , então:

Resposta

A sequência converge para .

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