1. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
    b) (3,1), y+3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma parábola quando conhecemos o foco e a diretriz dela. Especificamente, o foco é o ponto (3,1) e a diretriz é a reta y + 3 = 0. Vamos precisar entender a definição de parábola e usar a fórmula que relaciona o foco e a diretriz para encontrar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto (x, y) na parábola, a distância até o foco (3,1) deve ser igual à distância até a diretriz y + 3 = 0.

Passo 3

Vamos começar calculando a distância de um ponto qualquer (x, y) até o foco (3,1). Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Distância até o foco = raiz(x - 3)^2 + (y - 1)^2 âé

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância desse ponto (x, y) até a diretriz y + 3 = 0. Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância de (x, y) até a diretriz é simplesmente a diferença das coordenadas y:
Distância até a diretriz = |y + 3| âé

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a equação:
raiz(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = |y + 3|

Passo 6

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (y + 3)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos:
(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = y^2 + 6y + 9
Simplificando:
x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 6y + 9

Passo 8

Vamos subtrair y^2 + 6y + 9 de ambos os lados para isolar os termos:
x^2 - 6x - 8y + 1 = 0

Passo 9

Para deixar a equação mais organizada, completamos o quadrado em relação a x:
x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9
Substituindo na equação:
(x - 3)^2 - 9 - 8y + 1 = 0
Simplificando:
(x - 3)^2 - 8y - 8 = 0

Passo 10

Finalmente, isolamos (x - 3)^2:
(x - 3)^2 = 8y + 8
Podemos escrever de forma mais elegante:
(x - 3)^2 = 8(y + 1)

Resposta

A equação da parábola é:
(x - 3)^2 = 8(y + 1)

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31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c) y^2-8 x+6 y+17=0
Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: F=(0,0), eixo: y=0 e passa por A=(3,4);
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V=(0,0), utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
Escreva as equações paramétricas da parábola de equação y^2-4 y+x+1=0.