- Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma parábola quando conhecemos o foco e a diretriz dela. Especificamente, o foco é o ponto
e a diretriz é a reta
. Vamos precisar entender a definição de parábola e usar a fórmula que relaciona o foco e a diretriz para encontrar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos
no plano que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
deve ser igual à distância até a diretriz
.
Passo 3
Vamos começar calculando a distância de um ponto qualquer
até o foco
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância desse ponto
até a diretriz
. Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância de
até a diretriz é simplesmente a diferença das coordenadas y:
Passo 5
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a equação:
Passo 6
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos subtrair
de ambos os lados para isolar os termos:
Passo 9
Para deixar a equação mais organizada, completamos o quadrado em relação a
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, isolamos
:
Podemos escrever de forma mais elegante:
Resposta
A equação da parábola é:
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(Página 269)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: , eixo:
e passa por
;
foco:
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice
, utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
Escreva as equações paramétricas da parábola de equação
.