Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco:
, eixo:
e passa por
;
foco:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola e descobrir onde ela cruza os eixos coordenados. Para isso, temos algumas informações:
- O foco da parábola é o ponto
. - O eixo da parábola é a linha
(que é o eixo x). - A parábola passa pelo ponto
.
Vamos usar alguns conceitos de geometria analítica para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola pode ser definida como o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é
e o eixo da parábola é
. Como o eixo da parábola é horizontal (eixo x), a parábola pode estar aberta para cima ou para baixo.
Passo 3
Sabendo que o foco está em
e o eixo é
, a parábola está simétrica em relação ao eixo x. A forma geral da equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x é:
Mas como a simetria é em relação ao eixo x e o foco está na origem, podemos simplificar para:
Aqui,
é a distância entre o vértice da parábola e o foco. Como o foco está na origem, o vértice também está na origem, então a equação fica:
Passo 4
Agora, precisamos descobrir o valor de
. Sabemos que a parábola passa pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as interseções da parábola com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo y, definimos
:
Então, a parábola cruza o eixo y no ponto
, que é também o foco.
Interseção com o eixo x:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo x, definimos
:
Então, a única interseção com o eixo x é no ponto
.
Resposta
A equação da parábola é
e ela intercepta os eixos coordenados apenas no ponto
.
Exercícios relacionados
Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
(d) vértice e foco
(d) vértice
Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto
e:
a) é paralela à reta
a) é paralela à reta
b) é paralela à reta que passa pelos pontos
e
c) é paralela à reta s
c) é paralela à reta s
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31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
- Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
b)