Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: F=(0,0), eixo: y=0 e passa por A=(3,4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola e descobrir onde ela cruza os eixos coordenados. Para isso, temos algumas informações:
  • O foco da parábola é o ponto F=(0,0).
  • O eixo da parábola é a linha y=0 (que é o eixo x).
  • A parábola passa pelo ponto A=(3,4).
Vamos usar alguns conceitos de geometria analítica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola pode ser definida como o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o foco é F=(0,0) e o eixo da parábola é y=0. Como o eixo da parábola é horizontal (eixo x), a parábola pode estar aberta para cima ou para baixo.

Passo 3

Sabendo que o foco está em (0,0) e o eixo é y=0, a parábola está simétrica em relação ao eixo x. A forma geral da equação de uma parábola com eixo paralelo ao eixo x é:
y = a x^2 + b x + c
Mas como a simetria é em relação ao eixo x e o foco está na origem, podemos simplificar para:
x^2 = 4 p y
Aqui, p é a distância entre o vértice da parábola e o foco. Como o foco está na origem, o vértice também está na origem, então a equação fica:
x^2 = 4 p y

Passo 4

Agora, precisamos descobrir o valor de p. Sabemos que a parábola passa pelo ponto A=(3,4). Vamos substituir esses valores na equação para encontrar p:
3^2 = 4 p cdot 4 9 = 16 p p = 916

Passo 5

Com o valor de p encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
x^2 = 4 (916) y x^2 = 94 y y = 49 x^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar as interseções da parábola com os eixos coordenados.
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo y, definimos x=0:
y = 49 cdot 0^2 y = 0
Então, a parábola cruza o eixo y no ponto (0,0), que é também o foco.
Interseção com o eixo x:
Para encontrar onde a parábola cruza o eixo x, definimos y=0:
0 = 49 x^2 x^2 = 0 x = 0
Então, a única interseção com o eixo x é no ponto (0,0).

Resposta

A equação da parábola é y = 49 x^2 e ela intercepta os eixos coordenados apenas no ponto (0,0).

Exercícios relacionados

Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
(d) vértice V(0,0) e foco F(-3,0)
Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A=(2,0,-3) e:
a) é paralela à reta
s: 1-x5=3 y4=z+36
b) é paralela à reta que passa pelos pontos B=(1,0,4) e C=(2,1,3)
c) é paralela à reta s
(Página 269)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c) y^2-8 x+6 y+17=0
  1. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
    b) (3,1), y+3=0