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31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c) y^2-8 x+6 y+17=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . O que a gente vai fazer aqui envolve translação de eixos, que é uma técnica da geometria analítica para simplificar equações de curvas. Vamos precisar completar o quadrado e ajustar os termos para chegar numa forma mais simples da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra agrupar os termos com y^2 + 6y = 8x - 17 :
Isso facilita pra gente completar o quadrado nos termos de .

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de (62)^2 = 9 . Lembra que pra completar o quadrado de y^2 + 6y + 9 = 8x - 17 + 9 , a gente adiciona e subtrai (y + 3)^2 = 8x - 8 .
Aqui, , então:
Então, adicionamos 9 dos dois lados:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos isolar o (y + 3)^2 = 8(x - 1) :
Essa é a forma reduzida da equação após a translação dos eixos.

Passo 5

Vamos classificar a curva. A equação é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita. Os elementos dessa parábola são:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz: A reta
  • Eixo de simetria: A linha vertical

Passo 6

Para representar graficamente, a parábola tem o vértice no ponto , abre para a direita, passa pelo foco em e tem a diretriz na reta .

Resposta

A equação reduzida após a translação de eixos é . Trata-se de uma parábola que abre para a direita, com vértice em , foco em , diretriz na reta e eixo de simetria na linha . O gráfico dessa parábola corresponde a essas características.

Exercícios relacionados

Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: F=(0,0), eixo: y=0 e passa por A=(3,4);
Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
(d) vértice V(0,0) e foco F(-3,0)
  1. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
    b) (3,1), y+3=0
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V=(0,0), utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.