(Página 269)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
31) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
. O que a gente vai fazer aqui envolve translação de eixos, que é uma técnica da geometria analítica para simplificar equações de curvas. Vamos precisar completar o quadrado e ajustar os termos para chegar numa forma mais simples da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra agrupar os termos com
:
Isso facilita pra gente completar o quadrado nos termos de
.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado nos termos de
. Lembra que pra completar o quadrado de
, a gente adiciona e subtrai
.
Aqui,
, então:
Então, adicionamos 9 dos dois lados:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos isolar o
:
Essa é a forma reduzida da equação após a translação dos eixos.
Passo 5
Vamos classificar a curva. A equação
é a forma padrão de uma parábola que abre para a direita. Os elementos dessa parábola são:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz: A reta
- Eixo de simetria: A linha vertical
Passo 6
Para representar graficamente, a parábola tem o vértice no ponto
, abre para a direita, passa pelo foco em
e tem a diretriz na reta
.
Resposta
A equação reduzida após a translação de eixos é
. Trata-se de uma parábola que abre para a direita, com vértice em
, foco em
, diretriz na reta
e eixo de simetria na linha
. O gráfico dessa parábola corresponde a essas características.
Exercícios relacionados
Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, sendo dados:
foco: , eixo:
e passa por
;
foco:
Em cada caso determine a equação da parábola que satisfaz:
(d) vértice e foco
(d) vértice
- Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
b)
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice
, utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.