Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
c)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a equação da parábola que tem como foco o ponto e como diretriz a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as definições de distância entre pontos e de ponto a reta.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o foco é igual à distância até a diretriz. Então, para qualquer ponto na parábola, temos:
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto à diretriz . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
No nosso caso, , e , então a distância fica:
Passo 4
Igualamos as duas expressões de distância:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Agora, expandimos os termos:
Simplificando:
Passo 6
Reorganizamos todos os termos para um lado da equação: