1. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
    c) (-4,-2), 2 x+y=3

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação da parábola que tem como foco o ponto (-4, -2) e como diretriz a reta 2x + y = 3. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as definições de distância entre pontos e de ponto a reta.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o foco é igual à distância até a diretriz. Então, para qualquer ponto (x, y) na parábola, temos:
raiz(x - (-4))^2 + (y - (-2))^2 = distância de (x, y) à diretriz 2x + y = 3âà

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto (x, y) à diretriz 2x + y = 3. A fórmula para a distância de um ponto (x0, y0) a uma reta Ax + By + C = 0 é:
|A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
No nosso caso, A = 2, B = 1 e C = -3, então a distância fica:
|2x + y - 3|raiz2^2 + 1^2 = |2x + y - 3|raiz5

Passo 4

Igualamos as duas expressões de distância:
raiz(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = |2x + y - 3|raiz5
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = (2x + y - 3)^25

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
5[(x + 4)^2 + (y + 2)^2] = (2x + y - 3)^2
Agora, expandimos os termos:
5(x^2 + 8x + 16 + y^2 + 4y + 4) = 4x^2 + 4xy + y^2 - 12x - 6y + 9
Simplificando:
5x^2 + 40x + 80 + 5y^2 + 20y + 20 = 4x^2 + 4xy + y^2 - 12x - 6y + 9

Passo 6

Reorganizamos todos os termos para um lado da equação:
5x^2 + 40x + 80 + 5y^2 + 20y + 20 - 4x^2 - 4xy - y^2 + 12x + 6y - 9 = 0
Simplificando os coeficientes:
x^2 - 4xy + 4y^2 + 52x + 26y + 91 = 0

Resposta

A equação da parábola é:
x^2 - 4xy + 4y^2 + 52x + 26y + 91 = 0

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