Calcule os determinantes das seguintes matrizes
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[cccc2 & 4 & 3 & -1 1 & 1 & 2 & 2 0 & -1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & -3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes de matrizes e algumas técnicas para facilitar o cálculo, como a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz que temos:
2 & 4 & 3 & -1 1 & 1 & 2 & 2 0 & -1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & -3
Perceba que a terceira linha tem dois zeros. Isso é ótimo porque facilita a expansão do determinante.

Passo 3

Vamos expandir o determinante pela terceira linha. A fórmula geral para a expansão por uma linha é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij)
Onde é a matriz menor que resulta da remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna.
No nosso caso, (terceira linha) e varia de 1 a 4. Mas como temos dois zeros, só precisamos calcular para as posições onde não é zero.

Passo 4

Vamos calcular apenas para det(A) = (-1)^3+2 cdot (-1) cdot det(M32) , já que det(A) = (-1)^5 cdot (-1) cdot det(M32) = 1 cdot det(M32) e os outros termos são zero.
Aplicando a fórmula:
Simplificando os sinais:
Então, precisamos calcular .

Passo 5

A matriz menor M32 = 2 & 3 & -1 1 & 2 & 2 2 & 1 & -3 é obtida removendo a terceira linha e a segunda coluna:
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3 usando a regra de Sarrus ou a regra geral para determinantes 3x3.

Passo 6

Aplicando a regra geral para determinantes 3x3:
det(M32) = 2(2 cdot (-3) - 1 cdot 2) - 3(1 cdot (-3) - 2 cdot 2) + (-1)(1 cdot 1 - 2 cdot 2)
Calculando passo a passo:
= 2(-6 - 2) - 3(-3 - 4) + (-1)(1 - 4)
= 2(-8) - 3(-7) + (-1)(-3)
= -16 + 21 + 3
= 8

Resposta

O determinante da matriz é .

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