Calcule a distância entre as retas
r: x-1=y3=z e s: X=(0,0,2)+t(-4 i+1 j+2 k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço. O que a gente vai usar pra isso é a geometria analítica 3D, especificamente a fórmula para a distância entre duas retas que não são paralelas nem se interceptam (retas “skew”). Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e um ponto em cada reta para aplicar a fórmula certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma clara. A reta r é dada por:
r: x - 11 = y3 = z1
Isso significa que a reta r passa pelo ponto s: X = (0, 0, 2) + t(-4, 1, 2) e tem o vetor diretor .
Já a reta s é dada em forma paramétrica:
Então, a reta s passa pelo ponto e tem o vetor diretor .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores diretores das duas retas. Para isso, a gente calcula o produto vetorial entre n = d1 times d2 = i & j & k 1 & 3 & 1 -4 & 1 & 2 e n = i(3 cdot 2 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 2 - (-4) cdot 1) + k(1 cdot 1 - 3 cdot (-4)) = (5, -6, 13) :
Fazendo o cálculo:

Passo 4

Com o vetor Distância = |P2P1 cdot n||n| encontrado, vamos usar a fórmula da distância entre as duas retas:
P2P1 = P2 - P1 = (0 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (-1, 0, 2) â
Primeiro, calculamos o vetor P2P1 cdot n = (-1)(5) + (0)(-6) + (2)(13) = -5 + 0 + 26 = 21 que vai de |n| = raiz5^2 + (-6)^2 + 13^2 = raiz25 + 36 + 169 = raiz230 para :
Agora, fazemos o produto escalar com :
E o módulo de :

Resposta

Então, a distância entre as duas retas é:
Distância = 21raiz230 approx 1,38 unidades â

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