Calcule o determinante das seguintes matrizes
[ccc a+2 g & b+2 h & c+2 i 3 d+2 g & 3 e+2 h & 3 f+2 i g & h & i ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 3x3 específica. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de determinantes de matrizes, que é uma parte importante da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, e também utilizar algumas propriedades das operações de linhas que facilitam nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
a + 2g & b + 2h & c + 2i 3d + 2g & 3e + 2h & 3f + 2i g & h & i
Notamos que as duas primeiras linhas têm termos com . Isso nos dá uma pista para simplificar a matriz usando operações de linhas, que são transformações que não alteram o valor do determinante (ou que alteram de maneira controlada).

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira e a segunda linhas para tornar os cálculos mais fáceis. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha. Isso significa fazer:
Linha 1 = Linha 1 - 2 × Linha 3
Aplicando isso, temos:
  • Nova Linha 1: (a + 2g) - 2g = a (b + 2h) - 2h = b (c + 2i) - 2i = c
Então, a matriz fica assim:
a & b & c 3d + 2g & 3e + 2h & 3f + 2i g & h & i

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha de maneira similar. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 3
Aplicando isso:
  • Nova Linha 2: (3d + 2g) - 2g = 3d (3e + 2h) - 2h = 3e (3f + 2i) - 2i = 3f
A matriz agora fica:
a & b & c 3d & 3e & 3f g & h & i

Passo 5

Perceba que na segunda linha, todos os elementos têm um múltiplo de 3. Podemos fatorar esse 3 para fora da linha, lembrando que quando fatoramos um número de uma linha, esse número multiplica o determinante da matriz. Então:
3 times a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 6

Agora, nossa tarefa é calcular o determinante da matriz simplificada:
a & b & c d & e & f g & h & i
Este é um determinante padrão de uma matriz 3x3. Vamos calcular usando a regra de Sarrus:
determinante = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Passo 7

Multiplicando pelo 3 que fatoramos anteriormente, o determinante original será:
Determinante total = 3 times [a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)]

Resposta

Portanto, o determinante da matriz dada é:
3 times [a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)]

Exercícios relacionados