Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 3x3 específica. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de determinantes de matrizes, que é uma parte importante da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, e também utilizar algumas propriedades das operações de linhas que facilitam nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
Notamos que as duas primeiras linhas têm termos com . Isso nos dá uma pista para simplificar a matriz usando operações de linhas, que são transformações que não alteram o valor do determinante (ou que alteram de maneira controlada).
Passo 3
Vamos começar simplificando a primeira e a segunda linhas para tornar os cálculos mais fáceis. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha. Isso significa fazer:
Linha 1 = Linha 1 - 2 × Linha 3
Aplicando isso, temos:
Nova Linha 1:
Então, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha de maneira similar. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 3
Aplicando isso:
Nova Linha 2:
A matriz agora fica:
Passo 5
Perceba que na segunda linha, todos os elementos têm um múltiplo de 3. Podemos fatorar esse 3 para fora da linha, lembrando que quando fatoramos um número de uma linha, esse número multiplica o determinante da matriz. Então:
Passo 6
Agora, nossa tarefa é calcular o determinante da matriz simplificada:
Este é um determinante padrão de uma matriz 3x3. Vamos calcular usando a regra de Sarrus:
Passo 7
Multiplicando pelo 3 que fatoramos anteriormente, o determinante original será: