Calcule o determinante das seguintes matrizes

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 3x3 específica. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de determinantes de matrizes, que é uma parte importante da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 3x3 usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, e também utilizar algumas propriedades das operações de linhas que facilitam nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
Notamos que as duas primeiras linhas têm termos com . Isso nos dá uma pista para simplificar a matriz usando operações de linhas, que são transformações que não alteram o valor do determinante (ou que alteram de maneira controlada).

Passo 3

Vamos começar simplificando a primeira e a segunda linhas para tornar os cálculos mais fáceis. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da primeira linha. Isso significa fazer:
Linha 1 = Linha 1 - 2 × Linha 3
Aplicando isso, temos:
  • Nova Linha 1:
Então, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha de maneira similar. Podemos subtrair 2 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 3
Aplicando isso:
  • Nova Linha 2:
A matriz agora fica:

Passo 5

Perceba que na segunda linha, todos os elementos têm um múltiplo de 3. Podemos fatorar esse 3 para fora da linha, lembrando que quando fatoramos um número de uma linha, esse número multiplica o determinante da matriz. Então:

Passo 6

Agora, nossa tarefa é calcular o determinante da matriz simplificada:
Este é um determinante padrão de uma matriz 3x3. Vamos calcular usando a regra de Sarrus:

Passo 7

Multiplicando pelo 3 que fatoramos anteriormente, o determinante original será:

Resposta

Portanto, o determinante da matriz dada é:

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  1. Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados abaixo.
    c)
Calcule os determinantes das seguintes matrizes
©
Calcule a distância entre as retas
Determine se cada uma das seguintes afirmações é falsa ou verdadeira.
© e são L.I. no espaço.