Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três vetores: , e . A missão é encontrar três números, chamados de escalares , e , que, quando usados para combinar esses vetores da forma , o resultado seja o vetor . Vamos usar álgebra linear para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma combinação linear desses vetores. Quando multiplicamos cada vetor por um escalar e somamos, estamos basicamente escalando e adicionando as componentes correspondentes dos vetores. Então, temos:
Substituindo os vetores:
Passo 3
Vamos fazer essa multiplicação componente por componente:
Isso nos dá três equações:
(da primeira componente)
(da segunda componente)
(da terceira componente)
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação.
Passo 5
Da primeira equação m = p , podemos isolar :
Isso significa que e são iguais. Vamos usar essa relação para simplificar as outras equações.
Passo 6
Substituindo 2m + n + 3p = 0 2p + n + 3p = 0 5p + n = 0 na segunda equação:
n = -5p
Agora, temos:
Passo 7
Agora, substituímos 3n + p = 14 3(-5p) + p = 14 -15p + p = 14 -14p = 14 na terceira equação:
p = 14-14 = -1
Resolvendo para :
Passo 8
Agora que encontramos m = -1 , podemos encontrar n = -5(-1) = 5 usando :