& 11 Conhecendo-se u=(1,2,0), v=(0,1,3) e w=(-1,3,1) calcu- & lar os escalares m , ne pem m u+n v+p w=(0,0,14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos três vetores: , e . A missão é encontrar três números, chamados de escalares , e , que, quando usados para combinar esses vetores da forma , o resultado seja o vetor . Vamos usar álgebra linear para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fazer uma combinação linear desses vetores. Quando multiplicamos cada vetor por um escalar e somamos, estamos basicamente escalando e adicionando as componentes correspondentes dos vetores. Então, temos:
mu + nv + pw = (0,0,14)
Substituindo os vetores:
m(1,2,0) + n(0,1,3) + p(-1,3,1) = (0,0,14)

Passo 3

Vamos fazer essa multiplicação componente por componente:
(m cdot 1 + n cdot 0 + p cdot (-1), m cdot 2 + n cdot 1 + p cdot 3, m cdot 0 + n cdot 3 + p cdot 1) = (0,0,14)
Isso nos dá três equações:
  1.     (da primeira componente)
  2.    (da segunda componente)
  3.     (da terceira componente)

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
m - p = 0 2m + n + 3p = 0 3n + p = 14
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela primeira equação.

Passo 5

Da primeira equação m = p , podemos isolar :
Isso significa que e são iguais. Vamos usar essa relação para simplificar as outras equações.

Passo 6

Substituindo 2m + n + 3p = 0 2p + n + 3p = 0 5p + n = 0 na segunda equação:
n = -5p
Agora, temos:

Passo 7

Agora, substituímos 3n + p = 14 3(-5p) + p = 14 -15p + p = 14 -14p = 14 na terceira equação:
p = 14-14 = -1
Resolvendo para :

Passo 8

Agora que encontramos m = -1 , podemos encontrar n = -5(-1) = 5 usando :
E também encontramos usando :

Resposta

Então, os escalares são:
m = -1, n = 5, p = -1

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