Considere o paralelepípedo determinado pelos vetores no espaço -5 i, 6 j e 4 k.
c) Calcule as medidas das projeções da diagonal com os planos coordenados e com os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo definido pelos vetores , e . O que a gente precisa fazer aqui é calcular as medidas das projeções da diagonal desse paralelepípedo nos planos coordenados e nos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, projeções e como encontrar a diagonal do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a diagonal do paralelepípedo. A diagonal pode ser obtida somando os três vetores que definem o paralelepípedo. Então, temos:
d = (-5i) + (6j) + (4k) = -5i + 6j + 4k

Passo 3

Agora, vamos calcular as projeções dessa diagonal nos planos coordenados. Os planos coordenados são:
  1. Plano
  2. Plano
  3. Plano
A projeção de um vetor em um plano é basicamente eliminar a componente perpendicular a esse plano.

Passo 4

Vamos começar com a projeção no plano dxy = -5i + 6j . Nesse caso, a componente |dxy| = raiz(-5)^2 + 6^2 = raiz25 + 36 = raiz61 approx 7,81 (ou seja, a componente ) é eliminada. Então, a projeção da diagonal no plano é:
A medida dessa projeç��o é a magnitude desse vetor:

Passo 5

Agora, a projeção no plano dxz = -5i + 4k . Aqui, a componente |dxz| = raiz(-5)^2 + 4^2 = raiz25 + 16 = raiz41 approx 6,40 (ou seja, a componente ) é eliminada:
A medida dessa projeção:

Passo 6

Por último, a projeção no plano dyz = 6j + 4k . Nesse caso, a componente |dyz| = raiz6^2 + 4^2 = raiz36 + 16 = raiz52 approx 7,21 (ou seja, a componente ) é eliminada:
A medida dessa projeção:

Passo 7

Agora, vamos calcular as projeções da diagonal nos eixos coordenados. Para isso, a gente projeta a diagonal em cada um dos eixos , e individualmente.

Passo 8

A projeção no eixo dx = -5i é simplesmente a componente |dx| = |-5| = 5 da diagonal:
A medida dessa projeção é o valor absoluto da componente :

Passo 9

A projeção no eixo dy = 6j é a componente |dy| = |6| = 6 da diagonal:
A medida dessa projeção:

Passo 10

Por fim, a projeção no eixo dz = 4k é a componente |dz| = |4| = 4 da diagonal:
A medida dessa projeção:

Resposta

As medidas das projeções da diagonal nos planos coordenados são aproximadamente:
  • Plano : unidades
  • Plano : unidades
  • Plano : unidades
E as medidas das projeções nos eixos coordenados são:
  • Eixo : unidades
  • Eixo : unidades
  • Eixo : unidades

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