Considere o paralelepípedo determinado pelos vetores no espaço e .
c) Calcule as medidas das projeções da diagonal com os planos coordenados e com os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo definido pelos vetores , e . O que a gente precisa fazer aqui é calcular as medidas das projeções da diagonal desse paralelepípedo nos planos coordenados e nos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, projeções e como encontrar a diagonal do paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a diagonal do paralelepípedo. A diagonal pode ser obtida somando os três vetores que definem o paralelepípedo. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as projeções dessa diagonal nos planos coordenados. Os planos coordenados são:
  1. Plano
  2. Plano
  3. Plano
A projeção de um vetor em um plano é basicamente eliminar a componente perpendicular a esse plano.

Passo 4

Vamos começar com a projeção no plano . Nesse caso, a componente (ou seja, a componente ) é eliminada. Então, a projeção da diagonal no plano é:
A medida dessa projeç��o é a magnitude desse vetor:

Passo 5

Agora, a projeção no plano . Aqui, a componente (ou seja, a componente ) é eliminada:
A medida dessa projeção:

Passo 6

Por último, a projeção no plano . Nesse caso, a componente (ou seja, a componente ) é eliminada:
A medida dessa projeção:

Passo 7

Agora, vamos calcular as projeções da diagonal nos eixos coordenados. Para isso, a gente projeta a diagonal em cada um dos eixos , e individualmente.

Passo 8

A projeção no eixo é simplesmente a componente da diagonal:
A medida dessa projeção é o valor absoluto da componente :

Passo 9

A projeção no eixo é a componente da diagonal:
A medida dessa projeção:

Passo 10

Por fim, a projeção no eixo é a componente da diagonal:
A medida dessa projeção:

Resposta

As medidas das projeções da diagonal nos planos coordenados são aproximadamente:
  • Plano : unidades
  • Plano : unidades
  • Plano : unidades
E as medidas das projeções nos eixos coordenados são:
  • Eixo : unidades
  • Eixo : unidades
  • Eixo : unidades

Exercícios relacionados

Considere o paralelepípedo determinado pelos vetores no espaço e .
b) Calcule a medida da diagonal do paralelepípedo.
Dados os pontos , ,
b) Escreva os vetores como combinação linear dos vetores e .
Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas: