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Considere os vetores u=(2,0,-1), v=(-1,-4,2) e w=(-2,3, a). Determine o valor de a para que:
(a) Os vetores u, v e w sejam coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de vetores coplanares. Para resolver, vamos precisar entender que três vetores são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero, ou seja, se o determinante formado por eles for igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como verificar se três vetores são coplanares. Usamos o determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores. Se o determinante for zero, os vetores estão no mesmo plano.
Então, vamos montar a matriz com os vetores 2 & 0 & -1 -1 & -4 & 2 -2 & 3 & a , e :

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
2 times [(-4) times a - 2 times 3] - 0 times [(-1) times a - 2 times (-2)] + (-1) times [(-1) times 3 - (-4) times (-2)]

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. -8a - 12 + 0 + 11 = -8a - 1
Agora, somando tudo:

Passo 5

Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser zero:
-8a - 1 = 0
Resolvendo para -8a = 1 a = -18 :

Resposta

O valor de que torna os vetores , e coplanares é .

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