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Considere os vetores e . Determine o valor de para que:
(a) Os vetores e sejam coplanares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam coplanares. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o conceito de vetores coplanares. Para resolver, vamos precisar entender que três vetores são coplanares se o volume do paralelepípedo formado por eles for zero, ou seja, se o determinante formado por eles for igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como verificar se três vetores são coplanares. Usamos o determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores. Se o determinante for zero, os vetores estão no mesmo plano.
Então, vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Agora, somando tudo:
Passo 5
Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser zero:
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que torna os vetores , e coplanares é .