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Determinar as equações vetorial, paramétrica, simétrica (caso exista) e reduzida (caso exista) da reta que
(a) Passa pelos pontos e .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço, e . Precisamos encontrar as equações da reta que passa por esses pontos nas formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pela diferença entre os pontos e . Calculando:
Então, o vetor diretor é .
Passo 3
Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta é dada por:
Onde é o ponto inicial e é um parâmetro real. Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos transformar a equação vetorial nas equações paramétricas da reta. Para isso, escrevemos cada coordenada separadamente:
Passo 5
Para obter a equação simétrica, precisamos isolar o parâmetro t = x + 13 t = y + 1-3 t = 3 - z2 em cada uma das equações paramétricas:
Passo 6
Igualando as expressões de x + 13 = y + 1-3 = 3 - z2 , conseguimos a equação simétrica da reta:
Resposta
As equações da reta que passa pelos pontos r = (-1, -1, 3) + t(3, -3, -2) e x = -1 + 3t y = -1 - 3t z = 3 - 2t são: