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Determinar as equações vetorial, paramétrica, simétrica (caso exista) e reduzida (caso exista) da reta que
(a) Passa pelos pontos P=(-1,-1,3) e Q=(2,-4,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço, e . Precisamos encontrar as equações da reta que passa por esses pontos nas formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pela diferença entre os pontos PQ = Q - P = (2 - (-1), -4 - (-1), 1 - 3) = (3, -3, -2) e . Calculando:
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta é dada por:
r = P + td
Onde r = (-1, -1, 3) + t(3, -3, -2) é o ponto inicial e é um parâmetro real. Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos transformar a equação vetorial nas equações paramétricas da reta. Para isso, escrevemos cada coordenada separadamente:
x = -1 + 3t y = -1 - 3t z = 3 - 2t

Passo 5

Para obter a equação simétrica, precisamos isolar o parâmetro t = x + 13 t = y + 1-3 t = 3 - z2 em cada uma das equações paramétricas:

Passo 6

Igualando as expressões de x + 13 = y + 1-3 = 3 - z2 , conseguimos a equação simétrica da reta:

Resposta

As equações da reta que passa pelos pontos r = (-1, -1, 3) + t(3, -3, -2) e x = -1 + 3t y = -1 - 3t z = 3 - 2t são:
  • Equação Vetorial:
x + 13 = y + 1-3 = 3 - z2
  • Equações Paramétricas:
  • Equação Simétrica:
Não há forma reduzida adicional para esta reta.

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