Determine
© (3 w+2 v, v,-2 u)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que precisamos calcular o produto . Esse tipo de cálculo envolve produto misto ou produto triple, que é uma operação na álgebra linear usada para determinar, por exemplo, o volume de um paralelepípedo formado por três vetores. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades do produto misto e realizar algumas operações algebráicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto misto . Ele é definido como , onde é o produto escalar e é o produto vetorial. Esse produto resulta em um escalar que pode ser positivo ou negativo, dependendo da orientação dos vetores.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, temos:
(3 w + 2 v, v, -2 u) = (3 w + 2 v) cdot (v times (-2 u))
Aí já dá para perceber que vamos precisar calcular o produto vetorial .

Passo 4

Vamos simplificar o produto vetorial:
v times (-2 u) = -2 (v times u)
Agora, substituindo de volta na expressão original:
(3 w + 2 v) cdot (-2 (v times u))
Podemos fatorar o escalar -2 (3 w + 2 v) cdot (v times u) :

Passo 5

Agora, distribuímos o produto escalar:
-2 [3 w cdot (v times u) + 2 v cdot (v times u)]
Sabemos que o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de si mesmo com outro vetor é zero, ou seja, -2 [3 w cdot (v times u) + 0] = -6 w cdot (v times u) . Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 6

Então, o resultado final do produto misto é:
(3 w + 2 v, v, -2 u) = -6 w cdot (v times u)

Resposta

O valor do produto é .

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