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Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores e . A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são e . Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores e a partir das diagonais. Sabemos que:
Para achar e , vamos somar e subtrair essas duas equações.
Passo 3
Somando as duas equações:
Então, dividindo por 2:
Passo 4
Agora, subtraindo as duas equações:
Dividindo por 2:
Passo 5
Agora que temos e , vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor será a área do paralelogramo.
A fórmula do produto vetorial é:
Passo 6
Calculando o determinante:
u times v = i(0 cdot 2 - 1 cdot (-1)) - j(3 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(3 cdot (-1) - 0 cdot 1)
= i(0 + 1) - j(6 - 1) + k(-3 - 0)
= i(1) - j(5) + k(-3)
= (1, -5, -3)
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área: