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Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores e . A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são e . Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores e a partir das diagonais. Sabemos que:
Para achar e , vamos somar e subtrair essas duas equações.

Passo 3

Somando as duas equações:
Então, dividindo por 2:

Passo 4

Agora, subtraindo as duas equações:
Dividindo por 2:

Passo 5

Agora que temos e , vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor será a área do paralelogramo.
A fórmula do produto vetorial é:

Passo 6

Calculando o determinante:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área:

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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Dados os vetores , calcule os seguintes vetores em termos de e :
(a) .
Dados os vetores e . Determinar o vetor tal que e é ortogonal ao eixo .
Determine
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Considere os vetores e . Determine o valor de para que:
(a) Os vetores e sejam coplanares.