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Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que suas diagonais são u+v=(4,-1,3) e u-v=(2,1-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores u e v. A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são u + v = (4, -1, 3) e u - v = (2, 1, -1). Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores u e v a partir das diagonais. Sabemos que:
u + v = (4, -1, 3)
u - v = (2, 1, -1)
Para achar u e v, vamos somar e subtrair essas duas equações.

Passo 3

Somando as duas equações:
(u + v) + (u - v) = 2u = (4 + 2, -1 + 1, 3 + (-1)) = (6, 0, 2)
Então, dividindo por 2:
u = (62, 02, 22) = (3, 0, 1)

Passo 4

Agora, subtraindo as duas equações:
(u + v) - (u - v) = 2v = (4 - 2, -1 - 1, 3 - (-1)) = (2, -2, 4)
Dividindo por 2:
v = (22, -22, 42) = (1, -1, 2)

Passo 5

Agora que temos u = (3, 0, 1) e v = (1, -1, 2), vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor será a área do paralelogramo.
A fórmula do produto vetorial é:
u times v = i & j & k 3 & 0 & 1 1 & -1 & 2

Passo 6

Calculando o determinante:
u times v = i(0 cdot 2 - 1 cdot (-1)) - j(3 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(3 cdot (-1) - 0 cdot 1)
= i(0 + 1) - j(6 - 1) + k(-3 - 0)
= i(1) - j(5) + k(-3)
= (1, -5, -3)

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área:
|u times v| = raiz1^2 + (-5)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 25 + 9 = raiz35

Resposta

A área do paralelogramo é raiz35 unidades de área.

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