9
Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sabendo que suas diagonais são e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores e . A gente sabe que as diagonais desse paralelogramo são e . Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores e a partir das diagonais. Sabemos que:
Para achar e , vamos somar e subtrair essas duas equações.
Passo 3
Somando as duas equações:
Então, dividindo por 2:
Passo 4
Agora, subtraindo as duas equações:
Dividindo por 2:
Passo 5
Agora que temos e , vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e o módulo desse vetor será a área do paralelogramo.
A fórmula do produto vetorial é:
Passo 6
Calculando o determinante:
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área: