11
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar escalares
e
em
tais que
, onde os vetores são:
Estamos trabalhando com aritmética modular em
, o que significa que todas as operações são feitas com restos da divisão por 19. Para resolver isso, precisamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação
componente por componente. Isso nos dá:
Aqui,
significa equivalência modular, ou seja, os dois lados da equação deixam o mesmo resto quando divididos por 19.
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos optar pela combinação linear para simplificar.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 7 e a segunda por 5 para igualar os coeficientes de
:
Simplificando:
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
Isso resulta em:
Passo 4
Reduzindo os coeficientes módulo 19:
Então, temos:
Para encontrar
, precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 14 em
. Ou seja, encontrar um número
tal que
.
Testando valores, descobrimos que
, pois
com resto 2, mas isso está incorreto. Vamos recalcular:
Na verdade,
, e
, então não é 1. Vamos tentar
.
Continuando, para encontrar o inverso, precisamos resolver
. Testamos
e vimos que dá 2, então tentamos
:
Não funciona. Vamos tentar
:
Ainda não.
:
Ainda não.
:
Continuamos até encontrar
:
E
:
Mas parece que houve um erro. Na verdade, o inverso de 14 em
é 11, pois
.
Passo 5
Com o inverso de 14 sendo 11, multiplicamos ambos os lados da equação
por 11:
Calculando:
Portanto,
.
Passo 6
Agora que temos
, substituímos esse valor na primeira equação para encontrar
:
Calculando:
Reduzindo
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos do inverso multiplicativo de 5 em
. Observamos que
, então o inverso de 5 é 4.
Multiplicamos ambos os lados por 4:
Calculando:
Portanto,
.
Resposta
Os escalares são
e
em
, satisfazendo
.