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Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
(a) x=(5,7), y=(6,15), z=(1,12)

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar escalares e em tais que , onde os vetores são:
Estamos trabalhando com aritmética modular em , o que significa que todas as operações são feitas com restos da divisão por 19. Para resolver isso, precisamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação 5a + 6b equiv 1 pmod19 7a + 15b equiv 12 pmod19 componente por componente. Isso nos dá:
Aqui, significa equivalência modular, ou seja, os dois lados da equação deixam o mesmo resto quando divididos por 19.

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Vamos optar pela combinação linear para simplificar.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 7 e a segunda por 5 para igualar os coeficientes de 7 times (5a + 6b) equiv 7 times 1 pmod19 5 times (7a + 15b) equiv 5 times 12 pmod19 :
35a + 42b equiv 7 pmod19 35a + 75b equiv 60 pmod19
Simplificando:
(35a + 75b) - (35a + 42b) equiv 60 - 7 pmod19
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
33b equiv 53 pmod19
Isso resulta em:

Passo 4

Reduzindo os coeficientes módulo 19:
33b equiv 53 pmod19 Rightarrow 33 mod19 = 14 e 53 mod19 = 15
Então, temos:
14b equiv 15 pmod19
Para encontrar , precisamos encontrar o inverso multiplicativo de 14 em . Ou seja, encontrar um número tal que .
Testando valores, descobrimos que , pois com resto 2, mas isso está incorreto. Vamos recalcular:
Na verdade, , e , então não é 1. Vamos tentar .
Continuando, para encontrar o inverso, precisamos resolver . Testamos e vimos que dá 2, então tentamos :
Não funciona. Vamos tentar :
Ainda não. :
Ainda não. :
Continuamos até encontrar :
E :
Mas parece que houve um erro. Na verdade, o inverso de 14 em é 11, pois .

Passo 5

Com o inverso de 14 sendo 11, multiplicamos ambos os lados da equação b equiv 15 times 11 pmod19 por 11:
15 times 11 = 165 e 165 mod19 = 13
Calculando:
Portanto, .

Passo 6

Agora que temos 5a + 6 times 13 equiv 1 pmod19 , substituímos esse valor na primeira equação para encontrar 5a + 78 equiv 1 pmod19 Rightarrow 5a equiv 1 - 78 pmod19 Rightarrow 5a equiv -77 pmod19 :
-77 + 4 times 19 = -77 + 76 = -1 equiv 18 pmod19
Calculando:
5a equiv 18 pmod19
Reduzindo :
Então:

Passo 7

Para encontrar a equiv 18 times 4 pmod19 , precisamos do inverso multiplicativo de 5 em 18 times 4 = 72 e 72 mod19 = 15 . Observamos que , então o inverso de 5 é 4.
Multiplicamos ambos os lados por 4:
Calculando:
Portanto, .

Resposta

Os escalares são e em , satisfazendo .

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