Dados os vetores x=(3,1,-7,4), y=(1,5,0,6) e z=(-1,1,3,0) em R^4, determine a combinação linear 3 x-2 y+7 z. O que pode afirmar sobre o conjunto x, y, z com base nesse cálculo?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos três vetores em :
A primeira parte da questão quer que a gente calcule a combinação linear . Depois disso, vamos analisar o que isso significa para o conjunto .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Saber como fazer combinações lineares de vetores.
  • Entender o que a combinação linear nos diz sobre a relação entre os vetores.

Passo 2

Vamos calcular 3x = 3 times (3, 1, -7, 4) = (9, 3, -21, 12) . Isso significa multiplicar cada vetor por seu respectivo coeficiente e depois somar os resultados.
Primeiro, vamos multiplicar cada componente de por 3:

Passo 3

Agora, multiplicamos cada componente de -2y = -2 times (1, 5, 0, 6) = (-2, -10, 0, -12) por -2:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos cada componente de 7z = 7 times (-1, 1, 3, 0) = (-7, 7, 21, 0) por 7:

Passo 5

Agora, vamos somar os resultados das multiplicações:
3x - 2y + 7z = (9, 3, -21, 12) + (-2, -10, 0, -12) + (-7, 7, 21, 0)
Somando componente por componente:
(9 - 2 - 7, 3 - 10 + 7, -21 + 0 + 21, 12 - 12 + 0) = (0, 0, 0, 0)

Passo 6

Chegamos ao resultado final:
3x - 2y + 7z = (0, 0, 0, 0)

Resposta

A combinação linear resulta no vetor nulo . Isso indica que os vetores , e são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

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