Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. Temos dois conjuntos de vetores,
e
, definidos no espaço
. O conjunto
contém vetores onde as duas componentes são iguais (
), e o conjunto
contém vetores onde a soma das componentes é zero (
). A tarefa é escrever o vetor
como a soma de um vetor de
e outro de
. Para isso, vamos precisar entender como decompor vetores em elementos desses subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos
e
:
-
Conjunto
: São vetores onde . Então, qualquer vetor pode ser escrito como , onde está em . -
Conjunto
: São vetores onde . Então, qualquer vetor pode ser escrito como , já que , com em .
Passo 3
Agora, vamos assumir que temos o vetor
. Nosso objetivo é encontrar vetores
e
tal que:
Substituindo as expressões de
e
, temos:
Passo 4
Vamos igualar as componentes dos vetores:
Onde
e
são os vetores originais.
Passo 5
Para resolver esse sistema e encontrar
e
, somamos e subtraímos as equações:
- Somando as duas equações:
- Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 6
Como estamos trabalhando em
, precisamos garantir que as divisões por 2 sejam válidas. Em
, o inverso multiplicativo de 2 é 6, porque
. Portanto:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, podemos construir os vetores
e
:
Assim, temos que
, onde
e
.
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser escrito como a soma de
com
pertencente a
e
com
pertencente a
.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(d)
(d)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(a)
(a)
Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(b)
(b)
11
Dados os vetores , determine escalares
tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)