Dados os conjuntos V=x in Z11^2 mid x1=x2 e U=x in Z11^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(e) u+w

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o enunciado tá pedindo. Temos dois conjuntos de vetores, e , definidos no espaço . O conjunto contém vetores onde as duas componentes são iguais ( ), e o conjunto contém vetores onde a soma das componentes é zero ( ). A tarefa é escrever o vetor como a soma de um vetor de e outro de . Para isso, vamos precisar entender como decompor vetores em elementos desses subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os conjuntos e :
  • Conjunto : São vetores onde . Então, qualquer vetor pode ser escrito como , onde está em .
  • Conjunto : São vetores onde . Então, qualquer vetor pode ser escrito como , já que , com em .

Passo 3

Agora, vamos assumir que temos o vetor u + w = v + u' . Nosso objetivo é encontrar vetores u + w = (a, a) + (b, -b) e tal que:
Substituindo as expressões de e , temos:

Passo 4

Vamos igualar as componentes dos vetores:
u1 + w1 = a + b u2 + w2 = a - b
Onde e são os vetores originais.

Passo 5

Para resolver esse sistema e encontrar (u1 + w1) + (u2 + w2) = 2a Rightarrow a = (u1 + w1) + (u2 + w2)2 e (u1 + w1) - (u2 + w2) = 2b Rightarrow b = (u1 + w1) - (u2 + w2)2 , somamos e subtraímos as equações:
  • Somando as duas equações:
  • Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 6

Como estamos trabalhando em a = 6 times [(u1 + w1) + (u2 + w2)] mod 11 b = 6 times [(u1 + w1) - (u2 + w2)] mod 11 , precisamos garantir que as divisões por 2 sejam válidas. Em , o inverso multiplicativo de 2 é 6, porque . Portanto:

Passo 7

Com os valores de v = (a, a) u' = (b, -b) e encontrados, podemos construir os vetores e :
Assim, temos que , onde e .

Resposta

Portanto, o vetor pode ser escrito como a soma de com pertencente a e com pertencente a .

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Dados os conjuntos V=x in R^2 mid x1=x2 e U=x in R^2 mid x1+x2=0, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de V e outro de U.
(d) u+w
Determine quais dos seguintes pares são vetores em U=x in Z17^2 mid x1+x2=0.
(a) x=(13,4)
Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(b) x=(7,4), y=(1,8)
11
Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
(a) x=(5,7), y=(6,15), z=(1,12)