Considere os vetores e em . Expresse o vetor como combinação linear dos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e no espaço . Isso significa que queremos encontrar números , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação componente por componente. Isso nos dá:
Resumindo, temos o seguinte sistema:
a + 2b + c = 1 -3a -4b -5c = -2 2a - b + 7c = 5
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação de 3a + 6b + 3c = 3 :
(3a + 6b + 3c) + (-3a -4b -5c) = 3 + (-2)
Agora, adicionamos essa equação à segunda equação do sistema:
2b - 2c = 1
Simplificando:
b - c = 12 (Equação 4)
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
çã
Passo 4
Agora, vamos usar a Equação 4 para expressar b = c + 12 em termos de 2a - (c + 12) + 7c = 5 :
2a - c - 12 + 7c = 5 2a + 6c = 112
Vamos substituir 4a + 12c = 11 (Equação 5) por essa expressão na terceira equação do sistema original:
Simplificando:
Podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar a fração:
çã
Passo 5
Vamos voltar à primeira equação do sistema original:
a + 2b + c = 1
Substituindo a + 2(c + 12) + c = 1 a + 2c + 1 + c = 1 a + 3c = 0 (Equação 6) :
4a + 12c = 11 a + 3c = 0 çã
Agora, temos as Equações 5 e 6:
Passo 6
Vamos resolver o sistema com as Equações 5 e 6. Da Equação 6, podemos expressar a = -3c em termos de 4(-3c) + 12c = 11 -12c + 12c = 11 0 = 11 :
Substituindo na Equação 5:
Hmm, isso não faz sentido. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar os passos anteriores para identificar onde erramos.
Isso nos leva a uma contradição, indicando que não há solução para esse sistema. Portanto, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .
Resposta
O vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .