Considere os vetores x=(1,-3,2), y=(2,-4,-1) e z=(1,-5,7) em R^3. Expresse o vetor v=(1,-2,5) in R^3 como combinação linear dos vetores x, y e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o vetor v = a cdot x + b cdot y + c cdot z como uma combinação linear dos vetores , e no espaço . Isso significa que queremos encontrar números , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com as componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação componente por componente. Isso nos dá:
1 = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 1 -2 = a cdot (-3) + b cdot (-4) + c cdot (-5) 5 = a cdot 2 + b cdot (-1) + c cdot 7
Resumindo, temos o seguinte sistema:
a + 2b + c = 1 -3a -4b -5c = -2 2a - b + 7c = 5

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou optar pelo método de eliminação para simplificar.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação de 3a + 6b + 3c = 3 :
(3a + 6b + 3c) + (-3a -4b -5c) = 3 + (-2)
Agora, adicionamos essa equação à segunda equação do sistema:
2b - 2c = 1
Simplificando:
b - c = 12 (Equação 4)
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
çã

Passo 4

Agora, vamos usar a Equação 4 para expressar b = c + 12 em termos de 2a - (c + 12) + 7c = 5 :
2a - c - 12 + 7c = 5 2a + 6c = 112
Vamos substituir 4a + 12c = 11 (Equação 5) por essa expressão na terceira equação do sistema original:
Simplificando:
Podemos multiplicar tudo por 2 para eliminar a fração:
çã

Passo 5

Vamos voltar à primeira equação do sistema original:
a + 2b + c = 1
Substituindo a + 2(c + 12) + c = 1 a + 2c + 1 + c = 1 a + 3c = 0 (Equação 6) :
4a + 12c = 11 a + 3c = 0 çã
Agora, temos as Equações 5 e 6:

Passo 6

Vamos resolver o sistema com as Equações 5 e 6. Da Equação 6, podemos expressar a = -3c em termos de 4(-3c) + 12c = 11 -12c + 12c = 11 0 = 11 :
Substituindo na Equação 5:
Hmm, isso não faz sentido. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar os passos anteriores para identificar onde erramos.

Passo 7

Revisando o Passo 4:
Depois de substituir 2a - (c + 12) + 7c = 5 2a + 6c - 12 = 5 2a + 6c = 5 + 12 2a + 6c = 112 a + 3c = 114 (Equação 5 corrigida) na terceira equação:
a + 3c = 0 çã
Agora, da Equação 6:
a + 3c = 114
Comparando com a Equação 5 corrigida:
Isso nos leva a uma contradição, indicando que não há solução para esse sistema. Portanto, o vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

Resposta

O vetor não pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

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