Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(b) x=(7,4), y=(1,8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois números, e , que estão no conjunto dos inteiros módulo 13 ( ). Esses números não podem ser ambos zero ao mesmo tempo. A ideia é que, combinando esses números com os vetores e , a soma dê o vetor zero. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolver um sistema de equações modulares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear a cdot (7, 4) + b cdot (1, 8) = (0, 0) de forma mais detalhada. Isso significa que:
(7a + b, 4a + 8b) = (0, 0)
Que, ao multiplicar os escalares pelos vetores, fica:
7a + b equiv 0 pmod13 4a + 8b equiv 0 pmod13
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da primeira equação:
7a + b equiv 0 pmod13
Podemos isolar b equiv -7a pmod13 :
b equiv 6a pmod13
Como estamos trabalhando módulo 13, multiplicar por -1 é o mesmo que multiplicar por 12, então:

Passo 4

Com essa relação entre 4a + 8b equiv 0 pmod13 e 4a + 8 cdot 6a equiv 0 pmod13 , vamos substituir na segunda equação do sistema:
4a + 48a equiv 0 pmod13
Substituindo 52a equiv 0 pmod13 por :
Calculando:

Passo 5

Agora, simplificando 52 div 13 = 4 com resto 0 módulo 13:
0 cdot a equiv 0 pmod13
Então:
Isso significa que a segunda equação é sempre verdadeira, independentemente do valor de . Portanto, nossa única condição é .

Passo 6

Como queremos que b equiv 6 cdot 1 pmod13 Rightarrow b equiv 6 pmod13 e não sejam ambos zero, podemos escolher um valor não nulo para e calcular correspondente. Vamos escolher :
Então, uma solução é e .

Resposta

Os escalares e satisfazem em .

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