Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois números,
e
, que estão no conjunto dos inteiros módulo 13 (
). Esses números não podem ser ambos zero ao mesmo tempo. A ideia é que, combinando esses números com os vetores
e
, a soma
dê o vetor zero. Para isso, vamos usar conceitos de combinações lineares e resolver um sistema de equações modulares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a combinação linear
de forma mais detalhada. Isso significa que:
Que, ao multiplicar os escalares pelos vetores, fica:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da primeira equação:
Podemos isolar
:
Como estamos trabalhando módulo 13, multiplicar por -1 é o mesmo que multiplicar por 12, então:
Passo 4
Com essa relação entre
e
, vamos substituir na segunda equação do sistema:
Substituindo
por
:
Calculando:
Passo 5
Agora, simplificando
módulo 13:
Então:
Isso significa que a segunda equação é sempre verdadeira, independentemente do valor de
. Portanto, nossa única condição é
.
Passo 6
Como queremos que
e
não sejam ambos zero, podemos escolher um valor não nulo para
e calcular
correspondente. Vamos escolher
:
Então, uma solução é
e
.
Resposta
Os escalares
e
satisfazem
em
.
Exercícios relacionados
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(e)
(e)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(d)
(d)
11
Dados os vetores , determine escalares
tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Dados os vetores
e
em
, determine a combinação linear
. O que pode afirmar sobre o conjunto
com base nesse cálculo?