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Determine a diferencial da função.
(a) z = e^(-2 x) cos(2 pi t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a diferencial da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente para funções de várias variáveis. Precisamos saber como calcular derivadas parciais e montar a expressão da diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial de uma função de duas variáveis. Se temos uma função , a diferencial é dada por:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Como não depende de , ela fica como um fator constante. A derivada de em relação a é . Então:
Segundo, a derivada parcial de em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a . A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na fórmula da diferencial:

Passo 5

Podemos simplificar um pouco, fatorando o termo comum :

Resposta

A diferencial da função é:

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