O bloco de massa m escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva F(v) = -b v^(3/2) com b sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade v0.
Encontre v(t) e x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco com massa que está deslizando sobre uma superfície horizontal bem lubrificada com óleo. Esse bloco está sofrendo uma força resistiva que depende da velocidade dele, dada por , onde é uma constante positiva. Inicialmente, o bloco está se movendo com uma velocidade . Nosso objetivo é encontrar como a velocidade e a posição do bloco variam ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de Física, como a segunda lei de Newton, e resolver algumas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa multiplicada pela aceleração dele:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Substituindo isso na equação da segunda lei:
Sabemos que a força resistiva é , então:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial. Queremos isolar de um lado e do outro:
Vamos reescrever isso para facilitar a integração:
Agora, estamos prontos para integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Igualando as duas expressões (podemos considerar apenas uma constante de integração):
Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos redefinir a constante para simplificar:
Aplicando a condição inicial :
Então:
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados à potência de -2 para encontrar :

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo :
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então,
Substituindo na integral:
Voltando para :
Aplicando a condição inicial :
Então, a expressão para fica:

Resposta

As soluções para a velocidade e posição do bloco em função do tempo são:

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