O bloco de massa
escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva
com
sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade
.
Encontre
e
.
Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco com massa
que está deslizando sobre uma superfície horizontal bem lubrificada com óleo. Esse bloco está sofrendo uma força resistiva que depende da velocidade dele, dada por
, onde
é uma constante positiva. Inicialmente, o bloco está se movendo com uma velocidade
. Nosso objetivo é encontrar como a velocidade
e a posição
do bloco variam ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de Física, como a segunda lei de Newton, e resolver algumas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
sobre um objeto é igual à massa
multiplicada pela aceleração
dele:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, temos:
Substituindo isso na equação da segunda lei:
Sabemos que a força resistiva é
, então:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial. Queremos isolar
de um lado e
do outro:
Vamos reescrever isso para facilitar a integração:
Agora, estamos prontos para integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Igualando as duas expressões (podemos considerar apenas uma constante de integração):
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos redefinir a constante
para simplificar:
Aplicando a condição inicial
:
Então:
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados à potência de -2 para encontrar
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Substituindo
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Então,
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a expressão para
fica:
Resposta
As soluções para a velocidade e posição do bloco em função do tempo são:
Exercícios relacionados
11
Determine a diferencial da função.
(a)
Determine a diferencial da função.
(a)
Para cada equação dos problemas abaixo, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução.
sen
sen
Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
com velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Escreva a equação de movimento do corpo.
Escreva a equação de movimento do corpo.
Considere a funço
. Calcule
e determine
.