A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Faça um diagrama de forças e escolha uma orientação para o eixo de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma partícula com massa que é solta do repouso. Ela está sujeita à gravidade, que puxa pra baixo, e a uma força resistiva que depende da velocidade, dada por . Nosso conteúdo aqui envolve forças e como representá-las num diagrama. Para resolver, vamos precisar saber como desenhar um diagrama de forças e escolher uma direção para o eixo das coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na partícula. Temos a força da gravidade, que é , puxando a partícula pra baixo. E temos a força resistiva, , que atua na direção oposta ao movimento. Como a partícula foi solta do repouso e está começando a se mover pra baixo, a força resistiva vai subir, ou seja, também está para cima inicialmente.

Passo 3

Agora, vamos desenhar o diagrama de forças. Imagina a partícula como um ponto no meio. Daqui, a seta para baixo representa a força da gravidade ( ) e a seta para cima representa a força resistiva ( ). As setas devem ser proporcionais às magnitudes das forças para ficar claro visualmente.

Passo 4

Escolher a orientação do eixo de coordenadas é importante pra facilitar os cálculos. Vamos adotar o eixo vertical , onde para baixo é o positivo. Então, a direção que a partícula vai se mover (para baixo) será positiva, e o contrário (para cima) será negativo. Isso ajuda a simplificar as equações, já que ambas as forças vão ter sinais diferentes conforme a direção que escolhemos.

Resposta

Pronto! Desenhamos o diagrama de forças com a força da gravidade para baixo ( ) e a força resistiva para cima ( ). Adotamos o eixo vertical com a direção para baixo como positiva.

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Resolva o Problema de valor inicial dado.
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Calcule a velocidade e a velocidade limite que a partícula pode atingir. A velocidade limite corresponde ao comportamento da velocidade após um longo tempo.
Para cada equação dos problemas abaixo, determine se ela é exata. Se for, encontre a solução. sen sen
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Determine a diferencial da função.
(a)