11 - Determine o momento de inércia da área
sombreada em relação ao eixo x e um eixo
situado
uma polegada acima do eixo x .
sombreada em relação ao eixo x e um eixo
uma polegada acima do eixo x .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o momento de inércia da área sombreada em relação a dois eixos: o eixo $ x $ e um eixo $ x’ $ que está uma polegada acima do eixo $ x $. O assunto aqui é de Mecânica dos Sólidos, mais especificamente sobre momentos de inércia de áreas. Para resolver, vamos precisar saber a forma da área sombreada e aplicar as fórmulas de momento de inércia, além da Teorema de Eixo Paralelo para o segundo eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de como a área está distribuída em relação a um eixo. Quanto mais longe a área estiver do eixo, maior será o momento de inércia.
A fórmula geral para o momento de inércia ($ I $) em relação ao eixo $ x $ para uma forma simples, como um retângulo, é:
onde:
- $ b $ é a base,
- $ h $ é a altura.
Passo 3
Vamos supor que a área sombreada seja um retângulo com base $ b = 2 $ polegadas e altura $ h = 4 $ polegadas (você pode substituir esses valores pelos do seu exercício específico).
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, para encontrar o momento de inércia em relação ao eixo $ x’ $, que está uma polegada acima do eixo $ x $, usamos o Teorema de Eixo Paralelo. Esse teorema nos diz que:
onde:
- $ I_x $ é o momento de inércia em relação ao eixo $ x $,
- $ A $ é a área da figura,
- $ d $ é a distância entre os eixos $ x $ e $ x’ $.
Passo 5
Calculando cada parte:
- Área ($ A $) do retângulo:
- Distância ($ d $) entre os eixos:
Aplicando no Teorema de Eixo Paralelo:
Resposta
O momento de inércia da área sombreada é aproximadamente 10,67 polegadas⁴ em relação ao eixo $ x $ e 18,67 polegadas⁴ em relação ao eixo $ x’ $ situado uma polegada acima do eixo $ x $.