- Encontre a derivada da função usando a definição.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a definição. A função que queremos derivar é
. Para isso, vamos usar a definição da derivada, que basicamente nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando essa variação (
) tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir
pela nossa função
na definição da derivada:
Simplificando os denominadores dentro da fração:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, unimos as frações no numerador:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Voltando à expressão da derivada:
Podemos cancelar o
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0. Substituindo
:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Exercícios 6a 8: São dados uma função
e um valor de
.
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário .
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de .
8.
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de
8.
Considere a função
Calcule
- Uma pedra cai de uma altura de 170 m em direção ao solo. Em t segundos, a distância percorrida pela pedra é de
.
a) Quantos segundos após o início da queda a pedra atinge o solo?
b) Qual é a velocidade média da pedra durante a queda?
c) Qual é a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo?
Exercícios 3 a 5: São dados uma função
os valores de
.
a) Encontre a taxa de variação média de em relação a
no intervalo
.
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a no valor especificado de
.
4. ;
a) Encontre a taxa de variação média de
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a
4.