1. Encontre a derivada da função usando a definição.
    b) f(x) = 1/(x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando a definição. A função que queremos derivar é . Para isso, vamos usar a definição da derivada, que basicamente nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada. A derivada de uma função no ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação ( ) tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir pela nossa função na definição da derivada:
Simplificando os denominadores dentro da fração:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, unimos as frações no numerador:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Voltando à expressão da derivada:
Podemos cancelar o no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0. Substituindo :

Resposta

A derivada da função é:

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