Considere a função
cc x+1 & -pi <= x <= 0 cos (x) & -0
Calcule integral-pi^pi f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Isso é da matéria de cálculo, especificamente sobre integrais de funções definidas por partes. O que precisamos fazer é calcular a integral de de até . Basicamente, vamos achar a área sob a curva dessa função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, como a função f(x) = x + 1 & para -pi <= x <= 0 cos(x) & para 0 < x <= pi tem duas expressões diferentes em dois intervalos diferentes, vamos dividir a integral em duas partes. Assim, a gente calcula a integral de cada parte separadamente e depois soma os resultados. A função é:
integral-pi^pi f(x) , dx = integral-pi^0 (x + 1) , dx + integral0^pi cos(x) , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral (x + 1) , dx = integral x , dx + integral 1 , dx = x^22 + x + C .
Para integrar [ x^22 + x ]-pi^0 = ( 0^22 + 0 ) - ( (-pi)^22 + (-pi) ) = 0 - ( pi^22 - pi ) = -pi^22 + pi , a gente integra termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral cos(x) , dx = sin(x) + C .
A integral de [ sin(x) ]0^pi = sin(pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 é , então:
Aplicando os limites de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
-pi^22 + pi + 0 = pi - pi^22

Resposta

O valor da integral é .

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