Exercícios 3 a 5: São dados uma função os valores de .
a) Encontre a taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a no valor especificado de .
4. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função e encontrar duas coisas:
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são taxa de variação média e taxa de variação instantânea, além de usar derivadas para a parte b.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) sobre a taxa de variação média.
A taxa de variação média entre dois pontos num intervalo é basicamente quanto a função muda em relação a nesse intervalo. É como a “inclinação média” da reta que liga os dois pontos.
A fórmula para calcular a taxa de variação média é:
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa função , temos:
Passo 4
Agora, podemos simplificar essa expressão. Lembrando da identidade algébrica:
Aplicando isso, o numerador fica:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula da taxa de variação média:
Os termos se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) que pede a taxa de variação instantânea.
A taxa de variação instantânea é a inclinação da tangente à curva no ponto . Para encontrar isso, usamos a derivada da função.
A derivada de é:
Passo 7
Para encontrar a taxa de variação instantânea no ponto , basta substituir por na derivada:
Resposta
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo é .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto é .