Exercícios 3 a 5: São dados uma função y = f(x) e os valores de x0 e x1.
a) Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1].
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x no valor especificado de x_0.
4. y = x^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função e encontrar duas coisas:
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são taxa de variação média e taxa de variação instantânea, além de usar derivadas para a parte b.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) sobre a taxa de variação média.
A taxa de variação média entre dois pontos num intervalo é basicamente quanto a função muda em relação a nesse intervalo. É como a “inclinação média” da reta que liga os dois pontos.
A fórmula para calcular a taxa de variação média é:
çãé

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função , temos:
çãé

Passo 4

Agora, podemos simplificar essa expressão. Lembrando da identidade algébrica:
Aplicando isso, o numerador fica:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula da taxa de variação média:
Os termos se cancelam:
çãé

Passo 6

Agora, vamos para a parte b) que pede a taxa de variação instantânea.
A taxa de variação instantânea é a inclinação da tangente à curva no ponto . Para encontrar isso, usamos a derivada da função.
A derivada de é:

Passo 7

Para encontrar a taxa de variação instantânea no ponto , basta substituir por na derivada:

Resposta

a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo é .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto é .

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