Exercícios 6a 8: São dados uma função
e um valor de
.
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário
.
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de
.
8.
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de
8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função
num ponto específico
. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a inclinação da reta tangente. Basicamente, a inclinação de uma reta nos diz o quanto ela está subindo ou descendo. Para curvas, a reta tangente em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função.
Passo 3
A derivada de uma função, denotada por
, representa a taxa de variação instantânea da função em relação a
. Basicamente, ela nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto
. Então, para achar a inclinação da reta tangente em
, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos encontrar a fórmula da derivada da função
. Primeiro, reescrevemos a função como
. Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se
, então
, temos:
Passo 5
Agora que temos a fórmula da derivada, podemos usá-la para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Basta substituir
por
na expressão da derivada:
Resposta
A inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
Calcule
Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
- Encontre a derivada da função usando a definição.
b)
- Uma pedra cai de uma altura de 170 m em direção ao solo. Em t segundos, a distância percorrida pela pedra é de
.
a) Quantos segundos após o início da queda a pedra atinge o solo?
b) Qual é a velocidade média da pedra durante a queda?
c) Qual é a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo?