Exercícios 6a 8: São dados uma função e um valor de .
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário .
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de .
8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função num ponto específico . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a inclinação da reta tangente. Basicamente, a inclinação de uma reta nos diz o quanto ela está subindo ou descendo. Para curvas, a reta tangente em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função.

Passo 3

A derivada de uma função, denotada por , representa a taxa de variação instantânea da função em relação a . Basicamente, ela nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto . Então, para achar a inclinação da reta tangente em , precisamos calcular .

Passo 4

Vamos encontrar a fórmula da derivada da função . Primeiro, reescrevemos a função como . Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se , então , temos:

Passo 5

Agora que temos a fórmula da derivada, podemos usá-la para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir por na expressão da derivada:

Resposta

A inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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Considere a função
Calcule
Calcule, justificando sua resposta a seguinte integral:
  1. Encontre a derivada da função usando a definição.
    b)
  1. Uma pedra cai de uma altura de 170 m em direção ao solo. Em t segundos, a distância percorrida pela pedra é de .
    a) Quantos segundos após o início da queda a pedra atinge o solo?
    b) Qual é a velocidade média da pedra durante a queda?
    c) Qual é a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo?