Exercícios 6a 8: São dados uma função y = f(x) e um valor de x_0.
a) Encontre uma fórmula para a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto arbitrário x = x0.
b) Use a fórmula obtida em (a) para encontrar a inclinação da reta tangente para o dado valor de x_0.
8. f(x) = raiz(x) ; x0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = raiz(x) num ponto específico . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, que nos ajuda a encontrar taxas de variação e inclinações de curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a inclinação da reta tangente. Basicamente, a inclinação de uma reta nos diz o quanto ela está subindo ou descendo. Para curvas, a reta tangente em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função.

Passo 3

A derivada de uma função, denotada por , representa a taxa de variação instantânea da função em relação a x. Basicamente, ela nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto x. Então, para achar a inclinação da reta tangente em , precisamos calcular .

Passo 4

Vamos encontrar a fórmula da derivada da função f(x) = raiz(x). Primeiro, reescrevemos a função como . Usando a regra do poder para derivadas, que diz que se , então , temos:

Passo 5

Agora que temos a fórmula da derivada, podemos usá-la para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir x por 1 na expressão da derivada:

Resposta

A inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = raiz(x) no ponto é 1/2.

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