1. Encontre a derivada da função usando a definição.
    e) f(t)=5 t-9 t^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente como calcular derivadas pelo limite. Vamos precisar lembrar da definição de derivada e aplicar passo a passo nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada pela definição. A derivada de uma função f'(t) = limh to 0 f(t + h) - f(t)h em um ponto é o limite quando tende a zero de:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função f(t + h) = 5(t + h) - 9(t + h)^2 na definição. Calculando (t + h)^2 = t^2 + 2th + h^2 :
f(t + h) = 5t + 5h - 9(t^2 + 2th + h^2) = 5t + 5h - 9t^2 - 18th - 9h^2
Vamos expandir o quadrado:
Então:

Passo 4

Subtraindo f(t + h) - f(t) = (5t + 5h - 9t^2 - 18th - 9h^2) - (5t - 9t^2) = 5h - 18th - 9h^2 de f(t + h) - f(t)h = 5h - 18th - 9h^2h = 5 - 18t - 9h :
Agora, dividimos tudo por :

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite quando f'(t) = limh to 0 (5 - 18t - 9h) = 5 - 18t tende a zero:
O termo desaparece porque está indo para zero.

Resposta

A derivada da função f'(t) = 5 - 18t é:

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