Dadas a s funções f(x) abaixo, calcule f^prime(x).
f(x)=x^2 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada, ou seja, . Para isso, vamos usar o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra do Produto, que é útil quando a função é o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas na nossa função . No caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como aplicar a Regra do Produto. Se temos uma função f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , a derivada dela é:
Ou seja, a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 4

Vamos derivar e separadamente:
  • Derivada de é
  • Derivada de é (porque a derivada de é ela mesma)

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = (2x) cdot e^x + x^2 cdot e^x

Passo 6

Podemos fatorar f'(x) = e^x (2x + x^2) = e^x (x^2 + 2x) para simplificar a expressão:

Resposta

A derivada de f'(x) = e^x (x^2 + 2x) é:

Exercícios relacionados