Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto dado.
Desenhe a superfície e o plano tangente.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Estamos trabalhando com uma superfície parametrizada dada pela função e precisamos encontrar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto onde e . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , além de encontrar o ponto correspondente na superfície para os valores de e fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o ponto na superfície usando os valores e . Substituindo na função , temos:
Isso significa que o ponto que vamos trabalhar é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de :
  1. A derivada em relação a :
  1. A derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor normal ao plano tangente utilizando o produto vetorial de e .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Vamos reorganizar essa equação:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto dado é .

Exercícios relacionados

Dadas a s funções abaixo, calcule .
Determine uma função tal que e calcule sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(b) e .
  1. Encontre a derivada da função usando a definição.
    e)
Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;