Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto dado.
Desenhe a superfície e o plano tangente.
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Estamos trabalhando com uma superfície parametrizada dada pela função e precisamos encontrar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto onde e . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , além de encontrar o ponto correspondente na superfície para os valores de e fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o ponto na superfície usando os valores e . Substituindo na função , temos:
Isso significa que o ponto que vamos trabalhar é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de :
A derivada em relação a :
A derivada em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto :
Para :
Para :
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor normal ao plano tangente utilizando o produto vetorial de e .
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Isso simplifica para:
Vamos reorganizar essa equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto dado é .