Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto dado.
r(u, v)=(u^2, 2 u sen v, u cos v) ; u=1, v=0
Desenhe a superfície e o plano tangente.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Estamos trabalhando com uma superfície parametrizada dada pela função r(u, v) = (u^2, 2u sin v, u cos v) e precisamos encontrar a equação do plano tangente nessa superfície no ponto onde u=1 e v=0. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função r em relação a u e v, além de encontrar o ponto correspondente na superfície para os valores de u e v fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o ponto na superfície usando os valores u=1 e v=0. Substituindo na função r(u, v), temos:
r(1, 0) = (1^2, 2 cdot 1 cdot sin(0), 1 cdot cos(0)) = (1, 0, 1)
Isso significa que o ponto que vamos trabalhar é (1, 0, 1).

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de r(u, v):
  1. A derivada em relação a u:
ru(u, v) = partial rpartial u = (2u, 2 sin v, cos v)
  1. A derivada em relação a v:
rv(u, v) = partial rpartial v = (0, 2u cos v, -u sin v)

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas parciais no ponto (u=1, v=0):
  • Para ru(1, 0):
ru(1, 0) = (2 cdot 1, 2 cdot sin(0), cos(0)) = (2, 0, 1)
  • Para rv(1, 0):
rv(1, 0) = (0, 2 cdot 1 cdot cos(0), -1 cdot sin(0)) = (0, 2, 0)

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos formar o vetor normal ao plano tangente utilizando o produto vetorial de ru(1, 0) e rv(1, 0).
n = ru(1, 0) times rv(1, 0) = | ccc i & j & k 2 & 0 & 1 0 & 2 & 0 | = (0-2, 0-0, 4) = (-2, 0, 4)

Passo 6

Com o vetor normal n = (-2, 0, 4) e o ponto (1, 0, 1), podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0
Substituindo os valores:
-2(x - 1) + 0(y - 0) + 4(z - 1) = 0
Isso simplifica para:
-2(x - 1) + 4(z - 1) = 0
Vamos reorganizar essa equação:
-2x + 2 + 4z - 4 = 0 Rightarrow -2x + 4z - 2 = 0 Rightarrow 2x - 4z + 2 = 0 Rightarrow x - 2z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto dado é x - 2z + 1 = 0.

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