Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada:
y=3-2 x^2+4 x^5 ; n=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas sucessivas até a ordem 10 da função . Isso envolve o estudo de derivadas em cálculo, especificamente derivadas de funções polinomiais. Para resolver, vamos calcular cada derivada uma por uma até chegar na décima ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função y' = ddx(3) - ddx(2x^2) + ddx(4x^5) . A derivada de uma constante é zero, a derivada de y' = 0 - 4x + 20x^4 é y' = -4x + 20x^4 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada.
y'' = ddx(-4x) + ddx(20x^4)
y'' = -4 + 80x^3
y'' = -4 + 80x^3

Passo 4

Terceira derivada:
y''' = ddx(-4) + ddx(80x^3)
y''' = 0 + 240x^2
y''' = 240x^2

Passo 5

Quarta derivada:
y'''' = ddx(240x^2)
y'''' = 480x
y'''' = 480x

Passo 6

Quinta derivada:
y''''' = ddx(480x)
y''''' = 480
y''''' = 480

Passo 7

Sexta derivada:
y^(6) = ddx(480)
y^(6) = 0
y^(6) = 0

Passo 8

Sétima derivada:
Como a sexta derivada é zero, qualquer derivada posterior também será zero.
y^(7) = 0

Passo 9

Oitava derivada:
y^(8) = 0

Passo 10

Nona derivada:
y^(9) = 0

Resposta

A décima derivada de é .

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