Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
sabendo que sua derivada é dada por:
Esse problema envolve Cálculo Diferencial, especificamente integração. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de potências e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da derivada
. Observa que temos
. Vamos reescrever isso de uma forma mais simples usando propriedades de potências:
Agora, substituindo de volta na expressão de
:
Podemos fatorar o
que está em ambos os termos dentro do parêntese:
Passo 3
O próximo passo é encontrar
, que é a antiderivada de
. Ou seja, precisamos integrar
:
Essa integral parece complicada, mas vamos observar que o que está dentro do parêntese
é justamente relacionado à derivada da função exponencial que envolve
. Isso sugere que podemos usar uma substituição u.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar a integração:
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, vamos derivar
em relação a
:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Mas observe que na nossa integral original, temos
. Comparando com
, vemos que:
Isso sugere que podemos reorganizar para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Vamos ajustar nossa substituição para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados da expressão de
por
:
Observamos que temos um termo extra
e
que não estão presentes na nossa integral original. Para alinhar isso, podemos considerar que a parte adicional será uma constante de integração.
No entanto, para simplificar, vamos assumir que a integral de
é proporcional a
, e assim:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, a função
é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
- Domínio
;
Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)