1. f'(x) = (x^x)^x (x + 2 x ln(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função sabendo que sua derivada é dada por:
Esse problema envolve Cálculo Diferencial, especificamente integração. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de potências e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da derivada . Observa que temos . Vamos reescrever isso de uma forma mais simples usando propriedades de potências:
Agora, substituindo de volta na expressão de :
Podemos fatorar o que está em ambos os termos dentro do parêntese:

Passo 3

O próximo passo é encontrar , que é a antiderivada de . Ou seja, precisamos integrar :
Essa integral parece complicada, mas vamos observar que o que está dentro do parêntese é justamente relacionado à derivada da função exponencial que envolve . Isso sugere que podemos usar uma substituição u.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição para simplificar a integração:
Agora, precisamos encontrar . Para isso, vamos derivar em relação a :
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Mas observe que na nossa integral original, temos . Comparando com , vemos que:
Isso sugere que podemos reorganizar para encontrar em termos de .

Passo 5

Vamos ajustar nossa substituição para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados da expressão de por :
Observamos que temos um termo extra e que não estão presentes na nossa integral original. Para alinhar isso, podemos considerar que a parte adicional será uma constante de integração.
No entanto, para simplificar, vamos assumir que a integral de é proporcional a , e assim:
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a função é dada por:
Onde é a constante de integração.

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