- Domínio
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos algumas informações sobre uma função
:
- Domínio:
- Raiz:
em - Sinal da função:
-
para ou -
para
-
Vamos usar esses dados para entender melhor a função
e, possivelmente, encontrar uma expressão para ela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, o domínio é dividido em duas partes:
-
: Isso significa que está definida para todos os números menores que -3. -
: Aqui, está definida para todos os números maiores que .
Entre -3 e
, a função não está definida.
Passo 3
Agora, vamos considerar a raiz da função, ou seja, onde
. Sabemos que isso ocorre em
. Isso significa que o gráfico da função toca o eixo
em
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da função em diferentes intervalos:
- Para
e , . Isso indica que nos extremos do domínio, a função está acima do eixo . - Para
, . Aqui, a função está abaixo do eixo .
Passo 5
Com base nessas informações, podemos começar a esboçar a forma da função
. Sabemos que ela muda de sinal em
e está positiva nos intervalos
e
, enquanto está negativa entre
e 2.
Isso sugere que
é um ponto onde a função cruza o eixo
, passando de negativo para positivo.
Passo 6
Para encontrar uma expressão possível para
, podemos pensar em funções que tenham essas características de domínio e mudança de sinal. Uma opção é considerar uma função racional, que tem restrições no domínio.
Vamos supor que
seja da forma:
Onde
é o numerador e
é o denominador.
Passo 7
Sabemos que a função não está definida em
e
. Isso pode ocorrer se o denominador
for zero nesses pontos. Portanto, podemos escolher:
Assim, quando
ou
, o denominador será zero, e a função não estará definida, respeitando o domínio dado.
Passo 8
Agora, queremos que
em
. Isso acontece quando o numerador
é zero. Então, podemos incluir
no numerador:
Onde
é uma constante que pode ser positiva ou negativa, dependendo do sinal da função nos intervalos.
Passo 9
Nossa função fica então:
Agora, vamos determinar o valor de
usando as informações sobre o sinal da função.
Passo 10
Sabemos que para
,
. Vamos escolher um valor de
maior que 2, por exemplo,
:
Queremos que isso seja positivo. O denominador
é positivo, então
também deve ser positivo.
Podemos escolher
para simplificar.
Passo 11
Então, a expressão da função fica:
Resposta
A função que atende às condições fornecidas é:
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