1. Domínio (-infinito, -3) U (raiz(3), infinito);
f = 0 em x = 2
f > 0 para x < -3 ou x > 2; f < 0 para raiz(3) < x < 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos algumas informações sobre uma função :
  1. Domínio:
  2. Raiz: em
  3. Sinal da função:
    • para ou
    • para
Vamos usar esses dados para entender melhor a função e, possivelmente, encontrar uma expressão para ela.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, o domínio é dividido em duas partes:
  • : Isso significa que está definida para todos os números menores que -3.
  • : Aqui, está definida para todos os números maiores que .
Entre -3 e , a função não está definida.

Passo 3

Agora, vamos considerar a raiz da função, ou seja, onde . Sabemos que isso ocorre em . Isso significa que o gráfico da função toca o eixo em .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da função em diferentes intervalos:
  • Para e , . Isso indica que nos extremos do domínio, a função está acima do eixo .
  • Para , . Aqui, a função está abaixo do eixo .

Passo 5

Com base nessas informações, podemos começar a esboçar a forma da função . Sabemos que ela muda de sinal em e está positiva nos intervalos e , enquanto está negativa entre e 2.
Isso sugere que é um ponto onde a função cruza o eixo , passando de negativo para positivo.

Passo 6

Para encontrar uma expressão possível para , podemos pensar em funções que tenham essas características de domínio e mudança de sinal. Uma opção é considerar uma função racional, que tem restrições no domínio.
Vamos supor que seja da forma:
Onde é o numerador e é o denominador.

Passo 7

Sabemos que a função não está definida em e . Isso pode ocorrer se o denominador for zero nesses pontos. Portanto, podemos escolher:
Assim, quando ou , o denominador será zero, e a função não estará definida, respeitando o domínio dado.

Passo 8

Agora, queremos que em . Isso acontece quando o numerador é zero. Então, podemos incluir no numerador:
Onde é uma constante que pode ser positiva ou negativa, dependendo do sinal da função nos intervalos.

Passo 9

Nossa função fica então:
Agora, vamos determinar o valor de usando as informações sobre o sinal da função.

Passo 10

Sabemos que para , . Vamos escolher um valor de maior que 2, por exemplo, :
Queremos que isso seja positivo. O denominador é positivo, então também deve ser positivo.
Podemos escolher para simplificar.

Passo 11

Então, a expressão da função fica:

Resposta

A função que atende às condições fornecidas é:

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Derive as funções dos exercícos 6. a 16. (se for conveniente, use derivação logarítmica)
f(x) = log2(x^2)
  1. x^(cosh x) (senh x ln x + cosh x / x)
  1. f'(x) = (x^x)^x (x + 2 x ln(x))
  1. f'(x) = pi x^(pi - 1) + (ln pi) pi^x