1. y' = (1 - y * e^(x * y) * cos(e^(x * y))) / (x * e^(x * y) * cos(e^(x * y)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você nos trouxe é uma equação diferencial do tipo . Nossa missão aqui é encontrar a função em relação a que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e algumas substituições estratégicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la mais amigável. Observe que podemos dividir o numerador pelo denominador:
Simplificando os termos:
Agora, reescrevendo a equação:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo , onde e .

Passo 3

Para resolver uma equação diferencial linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

A integral no lado direito é bem complicada devido à presença de dentro das funções exponencial e cosseno. Geralmente, nesse caso, não conseguimos encontrar uma solução explícita em termos de funções elementares. Portanto, a solução fica expressa implicitamente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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  1. f'(x) = pi x^(pi - 1) + (ln pi) pi^x
  1. f'(x) = (x^x)^x (x + 2 x ln(x))
  1. tanh (ln x)=12(e^ln x-e^-ln x)12(e^ln x+e^-ln x)=x-1xx+1x=x^2-1x^2+1
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