Se e são três vetores em , encontre escalares e tais que .
Prove que o item a) não tem solução se for substituído por . Por que isto ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional:
A primeira parte da pergunta quer que a gente encontre dois números, chamados de escalares e , de forma que:
Depois, a questão pede para mostrar que, se substituirmos por , essa equação não tem solução. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Para encontrar e , precisamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores. Isso significa que cada componente de deve ser igual à combinação linear das componentes de e .
Então, temos:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 3

Vamos começar pela terceira equação para facilitar:
Agora, substituímos na primeira equação:
Com , voltamos para :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a segunda equação:
Isso confirma que os valores encontrados estão corretos.

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo pedido da questão. Se substituirmos por , teremos um novo sistema:
Vamos tentar resolver esse sistema para ver se existe uma solução.

Passo 6

Usando a terceira equação novamente:
Substituindo na primeira equação:
E, portanto, .

Passo 7

Vamos verificar na segunda equação:
Isso não faz sentido, já que não é igual a . Portanto, não há solução para esse sistema.

Resposta

Os escalares que satisfazem são e . Além disso, se for substituído por , a equação não tem solução porque o sistema de equações resultante é inconsistente.

Exercícios relacionados

Dado o sistema
Verifique que toda solução obtida em b) é a soma de uma solução encontrada em c) com a solução particular que você encontrou em a).
Dado o sistema
Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para e w.)
[A,65] Sejam e conjuntos numéricos não vazios. Prove que e .
Utilize a transformada de Fourier para encontrar uma solução para a seguinte equação diferencial:
sujeita a .