Se e são três vetores em , encontre escalares e tais que .
Prove que o item a) não tem solução se for substituído por . Por que isto ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional:
A primeira parte da pergunta quer que a gente encontre dois números, chamados de escalares e , de forma que:
Depois, a questão pede para mostrar que, se substituirmos por , essa equação não tem solução. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Para encontrar e , precisamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores. Isso significa que cada componente de deve ser igual à combinação linear das componentes de e .
Então, temos:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 3
Vamos começar pela terceira equação para facilitar:
Agora, substituímos na primeira equação:
Com , voltamos para :
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses valores de e satisfazem a segunda equação:
Isso confirma que os valores encontrados estão corretos.
Passo 5
Agora, vamos analisar o segundo pedido da questão. Se substituirmos por , teremos um novo sistema:
Vamos tentar resolver esse sistema para ver se existe uma solução.
Passo 6
Usando a terceira equação novamente:
Substituindo na primeira equação:
E, portanto, .
Passo 7
Vamos verificar na segunda equação:
Isso não faz sentido, já que não é igual a . Portanto, não há solução para esse sistema.
Resposta
Os escalares que satisfazem são e . Além disso, se for substituído por , a equação não tem solução porque o sistema de equações resultante é inconsistente.