Se A=(2,-1,1), B=(1,2,-1) e C=(2,-11,7) são três vetores em R^3, encontre escalares x e y tais que C=x A+y B.
Prove que o item a) não tem solução se C for substituído por (2,11,7). Por que isto ocorre?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional:
A = (2, -1, 1), B = (1, 2, -1), C = (2, -11, 7)
A primeira parte da pergunta quer que a gente encontre dois números, chamados de escalares C = xA + yB e , de forma que:
Depois, a questão pede para mostrar que, se substituirmos por , essa equação não tem solução. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Para encontrar 2 = 2x + y (componente x) -11 = -x + 2y (componente y) 7 = x - y (componente z) e , precisamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores. Isso significa que cada componente de deve ser igual à combinação linear das componentes de e .
Então, temos:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 3

Vamos começar pela terceira equação para facilitar:
7 = x - y Rightarrow x = y + 7
Agora, substituímos 2 = 2(y + 7) + y 2 = 2y + 14 + y 2 = 3y + 14 3y = 2 - 14 3y = -12 y = -4 na primeira equação:
x = -4 + 7 = 3
Com , voltamos para :

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses valores de -11 = -x + 2y -11 = -3 + 2(-4) -11 = -3 - 8 -11 = -11 e satisfazem a segunda equação:
Isso confirma que os valores encontrados estão corretos.

Passo 5

Agora, vamos analisar o segundo pedido da questão. Se substituirmos 2 = 2x + y (componente x) 11 = -x + 2y (componente y) 7 = x - y (componente z) por , teremos um novo sistema:
Vamos tentar resolver esse sistema para ver se existe uma solução.

Passo 6

Usando a terceira equação novamente:
7 = x - y Rightarrow x = y + 7
Substituindo 2 = 2(y + 7) + y 2 = 2y + 14 + y 2 = 3y + 14 3y = 2 - 14 3y = -12 y = -4 na primeira equação:
E, portanto, .

Passo 7

Vamos verificar na segunda equação:
11 = -x + 2y 11 = -3 + 2(-4) 11 = -3 - 8 11 = -11
Isso não faz sentido, já que não é igual a . Portanto, não há solução para esse sistema.

Resposta

Os escalares que satisfazem são e . Além disso, se for substituído por , a equação não tem solução porque o sistema de equações resultante é inconsistente.

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